Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29630
Страница 1 из 5

Автор:  ALEXIN [ 26 дек 2013, 08:11 ]
Заголовок сообщения:  Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Yurik!

Очень прошу Вас помочь разобраться, как правильно решать такие задачи, смотрите ниже.

Определить сходиться или расходится ряд:
1) По интегральному признаку Коши
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3n+2} }[/math]

2) По радикальному признаку Коши
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\left[ 2+(0,1)^{n-1} \right]^{n}[/math]

3) По признаку Лейбница
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math]

Автор:  Yurik [ 26 дек 2013, 09:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

[math]\begin{gathered} \int\limits_1^\infty {\frac{{dx}}{{\sqrt {3x + 2} }}} = \frac{1}{3}\int\limits_1^\infty {\frac{{d\left( {3x + 2} \right)}}{{\sqrt {3x + 2} }}} = ... \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left[ {2 + {{\left( {0.1} \right)}^{n - 1}}} \right]}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {2 + {{\left( {0.1} \right)}^{n - 1}}} \right] = 2 < 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

С третьим затрудняюсь, но, кажется, там не выполняется необходимое условие сходимости.

Автор:  ALEXIN [ 26 дек 2013, 11:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Yurik!

Спасибо за помощь! :Rose:

Посмотрите, пожалуйста, по ссылке, где Александр Емелин объясняет примеры №№ 13 и 14 (он потом, ниже и его расписал) для интегрального признака Коши.

Не понимаю, почему такая большая разница в решениях? Ряд сходится для: 1/(2n + 3)^(6/7) и ряд расходится для: 1/(5n - 3)^(2/3)?! Неужели, всё дело только в злополучных «+» или «-» в скобках: (2n + 3) и (5n - 3)?!

Автор:  Yurik [ 26 дек 2013, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
Не понимаю, почему такая большая разница в решениях?

В одном случае у Вас степень больше единицы, в другом меньше.

Автор:  ALEXIN [ 26 дек 2013, 12:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Yurik!

[math]\begin{gathered} \int\limits_1^\infty {\frac{{dx}}{{\sqrt {3x + 2} }}} = \frac{1}{3}\int\limits_1^\infty {\frac{{d\left( {3x + 2} \right)}}{{\sqrt {3x + 2} }}} = ... \hfill \\ \mathop[/math]

Получается простая формальность:

[math]{...}[/math][math]= {\frac{2}{3} \times \left[ {\infty} - {\frac{1}{\sqrt{5} }}\right] } = \infty[/math]

Прошу прощения за описку, смотрите выше, степень правильно: 1/(2n + 3)^(7/6)

[math]{\frac{1}{\sqrt[6] {{\left(2n + 3\right)} \right)}^{7} }[/math]

Автор:  Yurik [ 26 дек 2013, 13:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
Прошу прощения за описку,

Да какая разница.
[math]\begin{gathered} ... = \frac{1}{2}\int\limits_1^\infty {{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{6}{7}}}d\left( {2x + 3} \right)} = \left. {\frac{{7{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{7}}}}}{2}} \right|_1^\infty = ... \hfill \\ ... = \frac{1}{5}\int\limits_1^\infty {{{\left( {5x - 3} \right)}^{\frac{2}{3}}}d\left( {5x - 3} \right)} = \left. {\frac{{3{{\left( {5x - 3} \right)}^{\frac{5}{3}}}}}{{25}}} \right|_1^\infty = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

В первом случае решении интеграла у Вас переменная в знаменателе, а во втором в числителе.

Автор:  ALEXIN [ 26 дек 2013, 13:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
Yurik!

Очень прошу Вас помочь разобраться, как правильно решать такие задачи, смотрите ниже.

Определить сходиться или расходится ряд:


:Rose: Прошу прощения за русский язык! ПрОклятые РЯДЫ так прижали, что забыл обо всём.
Правильно будет: СХОДЯТСЯ (что делают?), брал по готовому тексту от Автора ПРИЗА и было недосуг. Сейчас чуть расслабился и стал внимательней.

Yurik!

Вы меня снова перепугали! Хоть «простую формальность» правильно ли расписал? Такой ответ?!

[math]{...}[/math][math]= {\frac{2}{3} \times \left[ {\infty} - {\frac{1}{\sqrt{5} }}\right] } = \infty[/math]

Автор:  ALEXIN [ 26 дек 2013, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Yurik писал(а):
ALEXIN писал(а):
Прошу прощения за описку,

Да какая разница.
[math]\begin{gathered} ... = \frac{1}{2}\int\limits_1^\infty {{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{6}{7}}}d\left( {2x + 3} \right)} = \left. {\frac{{7{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{7}}}}}{2}} \right|_1^\infty = ... \hfill \\ ... = \frac{1}{5}\int\limits_1^\infty {{{\left( {5x - 3} \right)}^{\frac{2}{3}}}d\left( {5x - 3} \right)} = \left. {\frac{{3{{\left( {5x - 3} \right)}^{\frac{5}{3}}}}}{{25}}} \right|_1^\infty = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

В первом случае решении интеграла у Вас переменная в знаменателе, а во втором в числителе.


Yurik!


Простите мою ТУПОСТЬ! Но в голове полный разлад!
Почему, решая одни и те же задачи, Вы пишете одно, а Емелин пишет другое? Как быть?!
Емелин пишет:

[math]{...} = \frac{1}{2}\int\limits_1^\infty {{{\left( {2x + 3} \right)}^{ \frac{-7}{6}}}d\left( {2x + 3} \right)} = {...}[/math]

[math]{...} = \frac{1}{5}\int\limits_1^\infty {{{\left( {5x - 3} \right)}^{\frac{-2}{3}}}d\left( {5x - 3} \right)} = {...}[/math]

Автор:  Yurik [ 27 дек 2013, 09:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Поспешил я, ошибся. Но Вы-то могли и сами это увидеть. Сути это не меняет.
[math]\begin{gathered} ... = \frac{1}{2}\int\limits_1^\infty {{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}d\left( {2x + 3} \right)} = \left. {\frac{{6{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{6}}}}}{2}} \right|_1^\infty = ... \hfill \\ ... = \frac{1}{5}\int\limits_1^\infty {{{\left( {5x - 3} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}d\left( {5x - 3} \right)} = \left. {\frac{{3{{\left( {5x - 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}{5}} \right|_1^\infty = ... \hfill \\\end{gathered}[/math]

Автор:  ALEXIN [ 27 дек 2013, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] [math]=[/math][math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{(3n-1)!}[/math]

[math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)! }{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math]

Для любых n верно, что [math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}<{1}[/math]

Страница 1 из 5 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/