Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 2 из 5 |
[ Сообщений: 41 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| mad_math |
|
|
|
ALEXIN писал(а): [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math] Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: ALEXIN |
||
| ALEXIN |
|
|
|
mad_math писал(а): ALEXIN писал(а): [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math] Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math] mad_math! Пока не хватает сноровки! [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!!}{(3n-1)!!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}[/math] [math]{2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)}= {(3n-1)!!}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Если не хватает сноровки, то незачем сразу браться за трудные примеры.
Дробь [math]\frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{2}{n}}[/math] также не равна сама по себе [math]\frac{2}{3}[/math]. И прочитайте наконец определение факториала и двойного факториала. Не равно произведение [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... \cdot (3n-1)[/math] ни тому, ни другому. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: ALEXIN |
||
| ALEXIN |
|
|
|
ALEXIN писал(а): [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] [math]=[/math][math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{(3n-1)!}[/math] [math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)! }{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math] Для любых n верно, что [math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}<{1}[/math] Yurik! Спасибо за помощь. ![]() 3) По признаку Лейбница [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] Там, в принципе, всё правильно. За исключением записи: 2*5*8*… *(3n – 1) = (3n – 1)! — ОШИБКА, т.к. это не факториал, а «ЦЕПОЧКА» множителей, которую и надо так записывать (в знаменателе и числителе): 2*5*8*… *(3n – 1). Смотрите рассуждения, Емелин А. пример № 6, как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера. Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что a(n) = 2*5*8*… *(3n – 1) a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА! a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО! Признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится. Или в два пункта: 1) Ряд является знакочередующимся. 2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно. Если выполнены оба условия, то ряд сходится. Опять примеры Емелина А. Для любопытства (чётность и нечётность): 10!! = 2*4*6*8*10 = 3840 9!! = 1*3*5*7*9 = 945 |
||
| Вернуться к началу | ||
| Yurik |
|
|
|
ALEXIN писал(а): 1) Ряд является знакочередующимся. 2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно. Если выполнены оба условия, то ряд сходится. Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math]. И попробуйте в третьем ряде доказать это условие. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: ALEXIN |
||
| ALEXIN |
|
|
|
Yurik писал(а): Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math]. И попробуйте в третьем ряде доказать это условие. Yurik! Вы наверно шутите? Надо было исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] применяя признак Даламбера, исследовали ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] , составленный из абсолютных величин членов данного ряда: [math]\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty } \left|{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+1)!!(2n+3)(3n-1)}{(3n-1)( 3n+2)(2n+1)!!}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}<{1}[/math] Таким образом, ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] сходится. Отсюда следует, что данный ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] тоже сходится, и притом АБСОЛЮТНО. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Yurik |
|
|
|
ALEXIN писал(а): тоже сходится, Не шучу. Вы же в самом начале написали: "3) признак Лейбница.", я Вам поэтому и написал, что затрудняюсь, ибо прежде всего, проверяю это условие. Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: ALEXIN |
||
| mad_math |
|
|
|
ALEXIN писал(а): a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА! Это одно и то же.a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО! |
||
| Вернуться к началу | ||
| ALEXIN |
|
|
|
Yurik писал(а): Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак. ![]() Yurik! С Новым 2014 годом! Пойдёт ли такая интерпретация для необходимого условия? Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется НЕПОСРЕДСТВЕННО! При [math]{0}<{a}<{1}[/math] показательная функция убывает, поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю : [math]\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left|{{a_n }}\right| = \mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = {0}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| dobby |
|
|
|
Цитата: поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю ALEXIN и что Вам это дало? |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю dobby "Спасибо" сказали: ALEXIN |
||
|
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. | [ Сообщений: 41 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Задачи Коши | 2 |
237 |
21 апр 2022, 20:08 |
|
|
Расчитать шаг для задачи коши
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
157 |
24 дек 2022, 13:17 |
|
| Решение задачи Коши | 3 |
569 |
06 фев 2016, 12:14 |
|
|
Решение задачи Коши
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
447 |
11 май 2021, 08:38 |
|
| Найти решение задачи Коши | 3 |
446 |
10 июн 2015, 02:29 |
|
|
Численное решение задачи Коши
в форуме Численные методы |
2 |
491 |
04 июн 2018, 15:54 |
|
| Метод Эйлера для задачи Коши | 0 |
510 |
25 ноя 2015, 22:33 |
|
| Найти решение задачи Коши | 10 |
417 |
26 мар 2019, 14:35 |
|
| Найти решение задачи Коши | 1 |
298 |
08 янв 2018, 07:19 |
|
|
Найти решение задачи Коши
в форуме Дифференциальное исчисление |
6 |
922 |
14 апр 2021, 14:11 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |