Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 28 дек 2013, 00:56 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ALEXIN писал(а):
[math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math]
Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?

Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
ALEXIN
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 28 дек 2013, 01:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 фев 2012, 18:40
Сообщений: 2209
Cпасибо сказано: 433
Спасибо получено:
1045 раз в 768 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
ALEXIN писал(а):
[math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math]
Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?

Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math]


mad_math!

Пока не хватает сноровки!

[math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!!}{(3n-1)!!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}[/math]

[math]{2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)}= {(3n-1)!!}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 28 дек 2013, 05:38 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если не хватает сноровки, то незачем сразу браться за трудные примеры.
Дробь [math]\frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{2}{n}}[/math] также не равна сама по себе [math]\frac{2}{3}[/math].
И прочитайте наконец определение факториала и двойного факториала. Не равно произведение [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... \cdot (3n-1)[/math] ни тому, ни другому.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
ALEXIN
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 30 дек 2013, 00:38 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 фев 2012, 18:40
Сообщений: 2209
Cпасибо сказано: 433
Спасибо получено:
1045 раз в 768 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ALEXIN писал(а):
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] [math]=[/math][math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{(3n-1)!}[/math]

[math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)! }{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math]

Для любых n верно, что [math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}<{1}[/math]


Yurik!
Спасибо за помощь. :Rose:

3) По признаку Лейбница
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math]

Там, в принципе, всё правильно. За исключением записи: 2*5*8*… *(3n – 1) = (3n – 1)! — ОШИБКА, т.к. это не факториал, а «ЦЕПОЧКА» множителей, которую и надо так записывать (в знаменателе и числителе): 2*5*8*… *(3n – 1).

Смотрите рассуждения, Емелин А. пример № 6, как исследовать ряд с «цепочкой» множителей?
Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.
Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.
Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что
a(n) = 2*5*8*… *(3n – 1)
a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА!
a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО!

Признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится. Или в два пункта:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно.
Если выполнены оба условия, то ряд сходится.
Опять примеры Емелина А.
Для любопытства (чётность и нечётность):
10!! = 2*4*6*8*10 = 3840
9!! = 1*3*5*7*9 = 945

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 30 дек 2013, 09:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ALEXIN писал(а):
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно.
Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math].
И попробуйте в третьем ряде доказать это условие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали:
ALEXIN
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 31 дек 2013, 02:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 фев 2012, 18:40
Сообщений: 2209
Cпасибо сказано: 433
Спасибо получено:
1045 раз в 768 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik писал(а):
Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math].
И попробуйте в третьем ряде доказать это условие.


Yurik!

Вы наверно шутите? :)

Надо было исследовать на сходимость ряд
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math]

применяя признак Даламбера, исследовали ряд
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] , составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

[math]\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty } \left|{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+1)!!(2n+3)(3n-1)}{(3n-1)( 3n+2)(2n+1)!!}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}<{1}[/math]

Таким образом, ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] сходится. Отсюда следует, что данный ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math]

тоже сходится, и притом АБСОЛЮТНО.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 31 дек 2013, 09:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ALEXIN писал(а):
тоже сходится,

Не шучу. Вы же в самом начале написали: "3) признак Лейбница.", я Вам поэтому и написал, что затрудняюсь, ибо прежде всего, проверяю это условие.

Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали:
ALEXIN
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 31 дек 2013, 14:25 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ALEXIN писал(а):
a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА!
a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО!
Это одно и то же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 01 янв 2014, 22:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 фев 2012, 18:40
Сообщений: 2209
Cпасибо сказано: 433
Спасибо получено:
1045 раз в 768 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik писал(а):
Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак. :)


Yurik!

С Новым 2014 годом! :Rose:

Пойдёт ли такая интерпретация для необходимого условия? :unknown:

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется НЕПОСРЕДСТВЕННО!

При [math]{0}<{a}<{1}[/math] показательная функция убывает, поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю :
[math]\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left|{{a_n }}\right| = \mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = {0}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
СообщениеДобавлено: 02 янв 2014, 08:32 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 янв 2014, 15:52
Сообщений: 494
Откуда: Hogwarts
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
143 раз в 130 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю

ALEXIN и что Вам это дало?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dobby "Спасибо" сказали:
ALEXIN
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 2 из 5 [ Сообщений: 41 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

YuRat

2

237

21 апр 2022, 20:08

Расчитать шаг для задачи коши

в форуме Дифференциальное исчисление

Andrew356278

0

157

24 дек 2022, 13:17

Решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Norelen

3

569

06 фев 2016, 12:14

Решение задачи Коши

в форуме Дифференциальное исчисление

Miradl

4

447

11 май 2021, 08:38

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Alex Bin

3

446

10 июн 2015, 02:29

Численное решение задачи Коши

в форуме Численные методы

dobro

2

491

04 июн 2018, 15:54

Метод Эйлера для задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

BooKKa

0

510

25 ноя 2015, 22:33

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Shamil

10

417

26 мар 2019, 14:35

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

1

298

08 янв 2018, 07:19

Найти решение задачи Коши

в форуме Дифференциальное исчисление

Tom18

6

922

14 апр 2021, 14:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved