Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить сумму числового знакочередующегося ряда
СообщениеДобавлено: 18 дек 2010, 03:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 ноя 2010, 12:46
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, чем сможете, хотя бы методы решений, оценки

Вычислить сумму числового знакочередующегося ряда

[math]\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)(2n+1)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить сумму числового знакочередующегося ряда
СообщениеДобавлено: 18 дек 2010, 03:52 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
amorales писал(а):
3) Вычислить сумму числового ряда

[math]\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)(2n+1)}[/math]

Помогите, чем сможете, хотя бы методы решений, оценки...

Рассмотрите функциональный ряд [math]f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(n+1)(2n+1)}[/math].

С помощью признака Даламбера найдите его интервал сходимости:

[math]|a_n|=\frac{x^{2n}}{(n+1)(2n+1)}~\Rightarrow~|a_{n+1}|=\frac{|x|x^{2n}}{(n+2)(2n+3)}[/math]

[math]{\lim\limits_{n\to\infty}\!\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{(n+2)(2n+3)}=|x|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+6}=}[/math]

[math]{=|x|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2+3|n+1|n^2}{2+7|n+6|n^2}=|x|\frac{2+0+0}{2+0+0}=|x|<1~\Leftrightarrow~x\in(-1;1).}[/math]

В граничных точках [math]x=\pm1[/math] функциональный ряд равен исходному числовому ряду, который сходится, согласно признаку сходимости знакочередующихся рядов Лейбница, так так его абсолютный общий член при [math]n\to\infty[/math] стремится к нулю.

Теперь с помощью теорем о почленном дифференцировании и интегрировании функционального ряда найдите его сумму:

[math]f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(n+1)(2n+1)}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}\!\left(\frac{2}{2n+1}-\frac{1}{n+1}\right)=[/math]

[math]{=2\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+1}-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1}=\frac{2}{x}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}-\frac{1}{x^2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+2}}{n+1}=}[/math]

[math]=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{d}{dt}t^{2n+1}\,dt-\frac{1}{x^2}\int\limits_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}\frac{d}{dt}t^{2n+2}\,dt=[/math]

[math]{=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\,dt-\frac{2}{x^2}\int\limits_0^x{t\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\,dt}=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\frac{1}{1-(-t^2)}\,dt-\frac{2}{x^2}\int\limits_0^x{t\,\frac{1}{1-(-t^2)}\,dt}=}[/math]

[math]{=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\frac{dt}{1+t^2}-\frac{2}{x^2}\int\limits_0^x\frac{t}{1+t^2}\,dx=\frac{2}{x}\operatorname{arctg}x-\frac{1}{x^2}\ln(1+x^2),~x\in[-1;1].}[/math]

Итак, окончательно имеем

[math]f(-1)=f(1)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)(2n+1)}=\frac{\pi}{2}-\ln2.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
amorales
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти приближенную сумму знакочередующегося числового ряда

в форуме Ряды

Kerrify

1

428

17 дек 2020, 04:44

Найти сумму знакочередующегося ряда

в форуме Ряды

Alex_S_4930

2

604

06 май 2021, 16:47

Найти сумму числового ряда

в форуме Ряды

ELIZA_IVANOVA

2

490

10 авг 2016, 18:49

Нйти сумму числового ряда

в форуме Ряды

351w

2

205

19 янв 2020, 19:38

Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Atemyn

1

660

13 май 2021, 13:18

Сходимость знакочередующегося ряда

в форуме Ряды

kristalliks

4

102

16 ноя 2023, 19:05

Суммирование знакочередующегося натурального ряда

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

5

446

20 июн 2019, 00:31

Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

tanyhaftv

5

357

28 май 2021, 20:28

Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

Hohohehe

8

835

20 июл 2021, 11:53

Вычислить сумму ряда

в форуме Ряды

351w

3

253

13 июн 2020, 06:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved