Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
amorales |
|
|
Вычислить сумму числового знакочередующегося ряда [math]\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)(2n+1)}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
amorales писал(а): 3) Вычислить сумму числового ряда [math]\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)(2n+1)}[/math] Помогите, чем сможете, хотя бы методы решений, оценки... Рассмотрите функциональный ряд [math]f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(n+1)(2n+1)}[/math]. С помощью признака Даламбера найдите его интервал сходимости: [math]|a_n|=\frac{x^{2n}}{(n+1)(2n+1)}~\Rightarrow~|a_{n+1}|=\frac{|x|x^{2n}}{(n+2)(2n+3)}[/math] [math]{\lim\limits_{n\to\infty}\!\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{(n+2)(2n+3)}=|x|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+6}=}[/math] [math]{=|x|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2+3|n+1|n^2}{2+7|n+6|n^2}=|x|\frac{2+0+0}{2+0+0}=|x|<1~\Leftrightarrow~x\in(-1;1).}[/math] В граничных точках [math]x=\pm1[/math] функциональный ряд равен исходному числовому ряду, который сходится, согласно признаку сходимости знакочередующихся рядов Лейбница, так так его абсолютный общий член при [math]n\to\infty[/math] стремится к нулю. Теперь с помощью теорем о почленном дифференцировании и интегрировании функционального ряда найдите его сумму: [math]f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(n+1)(2n+1)}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}\!\left(\frac{2}{2n+1}-\frac{1}{n+1}\right)=[/math] [math]{=2\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+1}-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1}=\frac{2}{x}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}-\frac{1}{x^2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+2}}{n+1}=}[/math] [math]=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{d}{dt}t^{2n+1}\,dt-\frac{1}{x^2}\int\limits_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}\frac{d}{dt}t^{2n+2}\,dt=[/math] [math]{=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\,dt-\frac{2}{x^2}\int\limits_0^x{t\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\,dt}=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\frac{1}{1-(-t^2)}\,dt-\frac{2}{x^2}\int\limits_0^x{t\,\frac{1}{1-(-t^2)}\,dt}=}[/math] [math]{=\frac{2}{x}\int\limits_0^x\frac{dt}{1+t^2}-\frac{2}{x^2}\int\limits_0^x\frac{t}{1+t^2}\,dx=\frac{2}{x}\operatorname{arctg}x-\frac{1}{x^2}\ln(1+x^2),~x\in[-1;1].}[/math] Итак, окончательно имеем [math]f(-1)=f(1)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)(2n+1)}=\frac{\pi}{2}-\ln2.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: amorales |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти приближенную сумму знакочередующегося числового ряда
в форуме Ряды |
1 |
428 |
17 дек 2020, 04:44 |
|
Найти сумму знакочередующегося ряда
в форуме Ряды |
2 |
604 |
06 май 2021, 16:47 |
|
Найти сумму числового ряда
в форуме Ряды |
2 |
490 |
10 авг 2016, 18:49 |
|
Нйти сумму числового ряда
в форуме Ряды |
2 |
205 |
19 янв 2020, 19:38 |
|
Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда | 1 |
660 |
13 май 2021, 13:18 |
|
Сходимость знакочередующегося ряда
в форуме Ряды |
4 |
102 |
16 ноя 2023, 19:05 |
|
Суммирование знакочередующегося натурального ряда
в форуме Размышления по поводу и без |
5 |
446 |
20 июн 2019, 00:31 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
5 |
357 |
28 май 2021, 20:28 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
8 |
835 |
20 июл 2021, 11:53 |
|
Вычислить сумму ряда
в форуме Ряды |
3 |
253 |
13 июн 2020, 06:02 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |