Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 11:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 11:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum[/math][math]ln(sin( \Pi *n+2 | 2*n))[/math] ([math]n-> \infty[/math] ) - такой ряд, помогите пожалуйста. Использование любоого признака, кроме признака сравнения нецелесообразно, на мой взгляд, а подобрать эквивалентную функцию не могу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 12:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum \limits_{n \to 1}^{\infty}\ln \left [\sin \left (\frac{\pi n+2}{2n} \right ) \right ]=\sum\limits_{n \to 1}^{ \infty}\ln \left [\cos \left (\frac{1}{n} \right ) \right ]\approx -0.945[/math]

По рисунку очень даже похоже http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... ..infty%29


Последний раз редактировалось Avgust 10 фев 2013, 12:41, всего редактировалось 5 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 12:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left| {\ln \sin \frac{{\pi n + 2}}{{2n}}} \right| = \left| {\ln \cos \frac{1}{n}} \right| = \left| {\ln \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{1}{{2n}}} \right)} \right| < 2{\sin ^2}\frac{1}{{2n}} < \frac{1}{{2{n^2}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math, TinyMouse
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 13:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, я поторопился с выводами.
[math]\left| {\ln \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{1}{{2n}}} \right)} \right| < 2{\sin ^2}\frac{1}{{2n}}[/math] не верно.
Извините.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 13:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В любом случае [math]\left|\ln\cos\frac1n\right|\sim\frac1{2n^2}[/math] при [math]n\to\infty[/math], так что можно предельным признаком сравнения пользоваться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
erjoma, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 13:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Строю график в Maple. В сходимости убеждаюсь:

plot(sum(ln(sin((Pi*n+2)/(2*n))), n = 1 .. x), x = 0 .. 100, thickness = 2);

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 23:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 11:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
В любом случае [math]\left|\ln\cos\frac1n\right|\sim\frac1{2n^2}[/math] при [math]n\to\infty[/math], так что можно предельным признаком сравнения пользоваться.


Уверены ли вы, что здесь имеет место "сильная" эквивалентность?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 11 фев 2013, 01:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вот интересное наблюдение:

[math]\int \limits_1^{\infty}\ln \left (\cos \, \frac 1x \right ) \, dx \approx -0.53352[/math]

Это может иметь отношение к вопросу о сходимости ряда?

plot({int(ln(cos(1/t)), t = 1 .. x), ln(cos(1/x))}, x = 1 .. 30, thickness = 3)

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 11 фев 2013, 13:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
TinyMouse писал(а):
Уверены ли вы, что здесь имеет место "сильная" эквивалентность?


Что Вы имеете в виду под "сильной" эквивалентностью?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд?
СообщениеДобавлено: 18 фев 2013, 08:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 11:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да я разобрался, все правильно )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

9

1442

24 ноя 2016, 16:41

Сходится ли ряд?

в форуме Ряды

Resolut1on

2

188

17 ноя 2020, 20:51

Сходится или нет

в форуме Ряды

tanyhaftv

2

198

02 ноя 2018, 20:42

Сходится ли ряд?

в форуме Ряды

mathematician

0

353

03 фев 2016, 19:29

Сходится ли ряд

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ryslannn

4

240

18 дек 2017, 09:58

Сходится или расходится ряд

в форуме Алгебра

kuberbager

5

134

04 ноя 2022, 12:13

Интеграл сходится или нет

в форуме Интегральное исчисление

CBETAV

7

374

13 янв 2015, 23:02

Сходится ли интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

3

298

28 янв 2016, 17:24

При каких р ряд сходится?

в форуме Ряды

genia2030

5

229

01 ноя 2017, 12:06

Не сходится ответ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ura_mozg

1

215

29 мар 2017, 12:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved