Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=21912
Страница 1 из 1

Автор:  Meteri [ 04 фев 2013, 11:44 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

Изображение

Автор:  Yurik [ 04 фев 2013, 11:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: ИССЛЕДОВАТЬ РЯД НА УСЛОВНУЮ И АБСОЛЮТНУЮ СХОДИМОСТЬ

Расходится абсолютно по радикальному признаку Коши.
Расходится условно по признаку Лейбница.

Автор:  Human [ 04 фев 2013, 12:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: ИССЛЕДОВАТЬ РЯД НА УСЛОВНУЮ И АБСОЛЮТНУЮ СХОДИМОСТЬ

Yurik писал(а):
Расходится условно по признаку Лейбница.


Признак Лейбница даёт условия, при которых ряд сходится, про расходимость в нём ничего не утверждается.

Автор:  Yurik [ 04 фев 2013, 12:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: ИССЛЕДОВАТЬ РЯД НА УСЛОВНУЮ И АБСОЛЮТНУЮ СХОДИМОСТЬ

Human писал(а):
Признак Лейбница даёт условия, при которых ряд сходится, про расходимость в нём ничего утверждается.



Cогласен! Стало быть, условия условной сходимости не выполняются. Или как-то грамотнее нужно сказать?

Автор:  Human [ 04 фев 2013, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: ИССЛЕДОВАТЬ РЯД НА УСЛОВНУЮ И АБСОЛЮТНУЮ СХОДИМОСТЬ

Yurik писал(а):
Стало быть, условия условной сходимости не выполняются.


Не выполняются как раз условия именно признака Лейбница, поэтому им нельзя пользоваться. Условная сходимость в принципе может присутствовать и при невыполнимости этого признака (я прямо сейчас пример не смогу привести, но я более чем уверен, что наверняка можно состряпать ряд с немонотонным стремлением общего члена к нулю, который сходится условно).

Здесь, пожалуй, проще сказать, что ряд расходится, поскольку не удовлетворяет необходимому условию сходимости: общий член ряда стремится к бесконечности.

Автор:  Human [ 04 фев 2013, 15:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

Human писал(а):
я прямо сейчас пример не смогу привести, но я более чем уверен, что наверняка можно состряпать ряд с немонотонным стремлением общего члена к нулю, который сходится условно


Ну, вот такой ряд, например:

[math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n+(-1)^n}{n^2}[/math]

Он не сходится абсолютно, поскольку [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+(-1)^n}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}[/math]. Сам же ряд сходится, поскольку [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n+(-1)^n}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}n+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}[/math]. Значит ряд сходится условно.
При этом ряд знакочередующийся, но не удовлетворяет условиям признака Лейбница, поскольку последовательность [math]\frac{n+(-1)^n}{n^2}[/math] сходится к нулю немонотонно (можно показать, что любой член с чётным номером больше соседних членов).

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/