Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что ряд расходится
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=20828
Страница 1 из 1

Автор:  NikSlim [ 23 дек 2012, 15:08 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что ряд расходится

помогите, пожалуйста

[math]\frac{\sin n}{\sqrt{n}+\sin n}[/math]

этот ряд расходится, но как это доказать я не знаю.

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 16:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что ряд расходится

[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos 2n}{2n}-\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math]

Ряды [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2n}{2n}[/math] сходятся по признаку Дирихле. Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}[/math] сходится абсолютно по признаку сравнения, поскольку при [math]n\geqslant2[/math]

[math]\left|\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}\right|<\frac1{2n(\sqrt n-1)}\sim\frac1{2n^{\frac32}[/math]

Ну а ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math] расходится по признаку сравнения, поскольку

[math]\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}\sim\frac1{2n}[/math]

Итого исходный ряд равен сумме 3-ёх сходящихся и одного расходящегося рядов, значит он расходится.

Автор:  NikSlim [ 23 дек 2012, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что ряд расходится

спасибо большое, а как вывести такую сумму? в общих чертах, там сам пойму

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что ряд расходится

Я просто вычитал эквиваленты на бесконечности, для которых про сходимость соответствующих рядов всё известно, до тех пор, пока не получилось что-нибудь хорошее. Например, для исходного ряда таким эквивалентом было [math]\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math], после его вычитания получилось выражение с более высокой степенью знаменателя (это всегда хорошо), но всё ещё с неясной сходимостью, поэтому я ещё раз вычел эквивалент, и т. д.

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 17:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что ряд расходится

Вот представление попроще:

[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math]

Автор:  NikSlim [ 23 дек 2012, 18:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что ряд расходится

Human писал(а):
Вот представление попроще:

[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math]


да я уже с тем разобрался, спасибо! если необходимо, то можно закрыть.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/