Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Доказать, что ряд расходится http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=20828 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | NikSlim [ 23 дек 2012, 15:08 ] |
Заголовок сообщения: | Доказать, что ряд расходится |
помогите, пожалуйста [math]\frac{\sin n}{\sqrt{n}+\sin n}[/math] этот ряд расходится, но как это доказать я не знаю. |
Автор: | Human [ 23 дек 2012, 16:11 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что ряд расходится |
[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos 2n}{2n}-\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math] Ряды [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2n}{2n}[/math] сходятся по признаку Дирихле. Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}[/math] сходится абсолютно по признаку сравнения, поскольку при [math]n\geqslant2[/math] [math]\left|\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}\right|<\frac1{2n(\sqrt n-1)}\sim\frac1{2n^{\frac32}[/math] Ну а ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math] расходится по признаку сравнения, поскольку [math]\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}\sim\frac1{2n}[/math] Итого исходный ряд равен сумме 3-ёх сходящихся и одного расходящегося рядов, значит он расходится. |
Автор: | NikSlim [ 23 дек 2012, 16:29 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что ряд расходится |
спасибо большое, а как вывести такую сумму? в общих чертах, там сам пойму |
Автор: | Human [ 23 дек 2012, 16:52 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что ряд расходится |
Я просто вычитал эквиваленты на бесконечности, для которых про сходимость соответствующих рядов всё известно, до тех пор, пока не получилось что-нибудь хорошее. Например, для исходного ряда таким эквивалентом было [math]\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math], после его вычитания получилось выражение с более высокой степенью знаменателя (это всегда хорошо), но всё ещё с неясной сходимостью, поэтому я ещё раз вычел эквивалент, и т. д. |
Автор: | Human [ 23 дек 2012, 17:25 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что ряд расходится |
Вот представление попроще: [math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math] |
Автор: | NikSlim [ 23 дек 2012, 18:23 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что ряд расходится |
Human писал(а): Вот представление попроще: [math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math] да я уже с тем разобрался, спасибо! если необходимо, то можно закрыть. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |