Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 15:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 дек 2012, 20:06
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
помогите, пожалуйста

[math]\frac{\sin n}{\sqrt{n}+\sin n}[/math]

этот ряд расходится, но как это доказать я не знаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 16:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos 2n}{2n}-\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math]

Ряды [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2n}{2n}[/math] сходятся по признаку Дирихле. Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}[/math] сходится абсолютно по признаку сравнения, поскольку при [math]n\geqslant2[/math]

[math]\left|\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}\right|<\frac1{2n(\sqrt n-1)}\sim\frac1{2n^{\frac32}[/math]

Ну а ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math] расходится по признаку сравнения, поскольку

[math]\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}\sim\frac1{2n}[/math]

Итого исходный ряд равен сумме 3-ёх сходящихся и одного расходящегося рядов, значит он расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, NikSlim
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 16:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 дек 2012, 20:06
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо большое, а как вывести такую сумму? в общих чертах, там сам пойму

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 16:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я просто вычитал эквиваленты на бесконечности, для которых про сходимость соответствующих рядов всё известно, до тех пор, пока не получилось что-нибудь хорошее. Например, для исходного ряда таким эквивалентом было [math]\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math], после его вычитания получилось выражение с более высокой степенью знаменателя (это всегда хорошо), но всё ещё с неясной сходимостью, поэтому я ещё раз вычел эквивалент, и т. д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
NikSlim
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 17:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот представление попроще:

[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
NikSlim
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 18:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 дек 2012, 20:06
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Вот представление попроще:

[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math]


да я уже с тем разобрался, спасибо! если необходимо, то можно закрыть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что ряд расходится

в форуме Ряды

corioliss666

1

310

02 сен 2016, 10:08

Как доказать что ряд расходится?

в форуме Ряды

Dringer

2

375

17 дек 2015, 23:45

Доказать, что несобственный интеграл расходится

в форуме Интегральное исчисление

Zabik

4

615

10 сен 2014, 15:58

Доказать,что несобственный интеграл расходится

в форуме Интегральное исчисление

Ekaterina5

5

288

10 июн 2015, 22:32

Сходится или расходится ряд

в форуме Алгебра

kuberbager

5

134

04 ноя 2022, 12:13

Почему расходится ряд?

в форуме Ряды

crazymadman18

3

296

05 сен 2017, 12:17

последовательность расходится?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tanyhaftv

9

632

06 мар 2019, 14:15

Сходится или расходится ряд

в форуме Алгебра

DuMiX

4

145

08 ноя 2022, 17:28

Расходится ли интеграл

в форуме Интегральное исчисление

aleksashlc

6

37

Вчера, 21:54

Почему ряд расходится?

в форуме Ряды

youi

11

284

19 янв 2020, 18:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved