Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 16:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 дек 2012, 21:06
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
помогите, пожалуйста

[math]\frac{\sin n}{\sqrt{n}+\sin n}[/math]

этот ряд расходится, но как это доказать я не знаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 17:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos 2n}{2n}-\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math]

Ряды [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos2n}{2n}[/math] сходятся по признаку Дирихле. Ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}[/math] сходится абсолютно по признаку сравнения, поскольку при [math]n\geqslant2[/math]

[math]\left|\frac{\cos 2n\sin n}{2n(\sqrt n+\sin n)}\right|<\frac1{2n(\sqrt n-1)}\sim\frac1{2n^{\frac32}[/math]

Ну а ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}[/math] расходится по признаку сравнения, поскольку

[math]\frac1{2\sqrt n(\sqrt n+\sin n)}\sim\frac1{2n}[/math]

Итого исходный ряд равен сумме 3-ёх сходящихся и одного расходящегося рядов, значит он расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, NikSlim
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 17:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 дек 2012, 21:06
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо большое, а как вывести такую сумму? в общих чертах, там сам пойму

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 17:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я просто вычитал эквиваленты на бесконечности, для которых про сходимость соответствующих рядов всё известно, до тех пор, пока не получилось что-нибудь хорошее. Например, для исходного ряда таким эквивалентом было [math]\frac{\sin n}{\sqrt n}[/math], после его вычитания получилось выражение с более высокой степенью знаменателя (это всегда хорошо), но всё ещё с неясной сходимостью, поэтому я ещё раз вычел эквивалент, и т. д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
NikSlim
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 18:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот представление попроще:

[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
NikSlim
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что ряд расходится
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 19:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 дек 2012, 21:06
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Вот представление попроще:

[math]\frac{\sin n}{\sqrt n+\sin n}=\frac{\sin n}{\sqrt n}+\frac{\cos2n}{2n}+\frac{\sin^3n}{n(\sqrt n+\sin n)}-\frac1{2n}[/math]


да я уже с тем разобрался, спасибо! если необходимо, то можно закрыть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как доказать что ряд расходится?

в форуме Ряды

Dringer

2

165

18 дек 2015, 00:45

Доказать, что ряд расходится

в форуме Ряды

corioliss666

1

91

02 сен 2016, 11:08

Доказать, что последовательность расходится.

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Berry

1

525

13 ноя 2012, 02:31

Доказать, что последовательность расходится

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lllulll

4

417

28 ноя 2013, 18:10

Доказать,что несобственный интеграл расходится

в форуме Интегральное исчисление

Ekaterina5

5

123

10 июн 2015, 23:32

Доказать, что несобственный интеграл расходится

в форуме Интегральное исчисление

Zabik

4

305

10 сен 2014, 16:58

Ряд сходится или расходится?

в форуме Ряды

Vlad0777

3

257

17 дек 2012, 19:50

Сходится или расходится

в форуме Ряды

DIOLLlA

10

340

24 янв 2014, 15:50

Сходится или расходится ряд

в форуме Ряды

Samara321

6

283

02 янв 2014, 09:41

Почему расходится ряд?

в форуме Ряды

crazymadman18

3

90

05 сен 2017, 13:17


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved