Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти все значения a, при которых сходится ряд
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=20508
Страница 1 из 1

Автор:  Lukita [ 16 дек 2012, 15:11 ]
Заголовок сообщения:  Найти все значения a, при которых сходится ряд

Найти все значения [math]\alpha[/math], при которых сходится ряд:
[math]a_{n} = n^{\alpha}(ln(n^{2} + 1) - 2 \cdot lnn)[/math]

Автор:  Human [ 16 дек 2012, 17:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

Это не ряд, а последовательность. Вам нужно исследовать на сходимость ряд, общий член которого задаётся данной последовательностью?

Сравните с рядом [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2-\alpha}}[/math].

Автор:  Lukita [ 16 дек 2012, 17:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

Human писал(а):
Это не ряд, а последовательность. Вам нужно исследовать на сходимость ряд, общий член которого задаётся данной последовательностью?

Да.

Автор:  Lukita [ 27 дек 2012, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

Задача еще не решена, а завтра последний день. Помогите \o/

Автор:  mad_math [ 27 дек 2012, 17:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

Покажите свои попытки решения.

Автор:  Lukita [ 27 дек 2012, 18:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

mad_math, [math]\ln{(n^{2}+ 1)}[/math] расписываю по Тейлору как [math]n^{2} - \frac{ n^{4} }{ 2 } + \boldsymbol{o}(n^{4})[/math], подставляю это в эту последовательность, а дальше не пойму как решать.

Автор:  mad_math [ 27 дек 2012, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

Вам нужно использовать признак сравнения в предельной форме. Сравнить ваш ряд с тем, который посоветовал уважаемый Human.

При этом логарифмы можно представить в следующем виде:
[math]\ln{(n^2+1)}-2\ln{n}=\ln{\frac{n^2+1}{n^2}}=\ln{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}[/math]
И использовать, например, эквивалентные функции.

Автор:  Lukita [ 27 дек 2012, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

mad_math, премного благодарен, попробую разобраться.

Автор:  mad_math [ 27 дек 2012, 18:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

Всегда пожалуйста :)

Автор:  Lukita [ 27 дек 2012, 20:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все значения a, при которых сходится ряд

Все решилось! Спасибо за помощь.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/