Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интервал сходимости сложного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2010, 09:11 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 ноя 2010, 09:02
Сообщений: 75
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
22 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n^n}{n!}\,x^n[/math]

Нашел, что при x по модулю < 1/е ряд сходится.
Не могу исследовать на концах интервала сходимости

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: найти интервал сходимости степенного ряда
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2010, 12:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проще всего воспользоваться формулой Стирлинга
[math]n! \sim \left( {\frac{n}{e}} \right)^n \sqrt {2\pi n}[/math],
где эквивалентность означает, что предел отношения этих величин равен 1.
Отсюда сразу следует расходимость в точке 1/e (по признаку сравнения).
В точке -1/e есть сходимость по признаку Лейбница. Монотонность проверяется непосредственно, а из формулы Стирлинга следует, что предел общего члена равен 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
pronyn
 Заголовок сообщения: Re: найти интервал сходимости степенного ряда
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2010, 13:18 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а я по Коши делала, но это громоздко

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: найти интервал сходимости степенного ряда
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2010, 15:18 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 ноя 2010, 09:02
Сообщений: 75
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
22 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Проще всего воспользоваться формулой Стирлинга
[math]n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}[/math],
где эквивалентность означает, что предел отношения этих величин равен 1.
Отсюда сразу следует расходимость в точке 1/e (по признаку сравнения).
В точке -1/e есть сходимость по признаку Лейбница. Монотонность проверяется непосредственно, а из формулы Стирлинга следует, что предел общего члена равен 0.

Спасибо, теперь понял. Единственно: при 1/е ряд вопрос о сходимости таким образом решить не удается.

Я воспользовался выражением [math]{n!<{\!\left(\dfrac{n}{e}\right)\!}^n\sqrt{2\pi{n}}\,e^{1/12n}}[/math]

Тогда [math]{a_n=\frac{n^n}{e^nn!}>\frac{n^n}{e^n{\left(\dfrac{n}{e}\right)\!}^n\!\sqrt{2\pi{n}}\,e^{1/12n}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{n^{1/2}e^{1/12n}}>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{n^{1/2}n^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{n}=b_n}[/math],

начиная с номера n = 2, и по признаку сходимости ряд при 1/е расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

madam9707

3

374

04 июн 2014, 19:32

Интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

EugeneWinter

2

252

25 сен 2018, 17:13

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Bestolo4

3

744

16 май 2015, 21:51

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

kifboss

2

182

12 окт 2020, 14:51

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

vkedah

3

295

21 май 2017, 13:48

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Grigori

1

361

01 май 2014, 11:40

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Dmitry192

6

276

09 июн 2020, 14:40

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

glushkov1994

1

380

30 янв 2015, 14:45

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

miuttu

2

429

20 дек 2015, 18:57

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Grigori

3

539

10 апр 2014, 09:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved