Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказательство теоремы "Признак сравнения"
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=18034
Страница 1 из 1

Автор:  Empire1411 [ 08 сен 2012, 17:00 ]
Заголовок сообщения:  Доказательство теоремы "Признак сравнения"

Здравствуйте, уважаемые математики. Напишите, пожалуйста, подробное доказательство 2 части теоремы "Признак сравнения", которая звучита так Если расходится ряд А, то расходится и ряд B.

Изображение

Автор:  Ellipsoid [ 08 сен 2012, 17:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"

Можете посмотреть в книге Ильина и Позняка "Основы математического анализа".

Автор:  Empire1411 [ 08 сен 2012, 17:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"

Не получается скачать книгу, просит активировать код по смс , сможете скопировать пример, иллюстрирующий доказательство.

Автор:  Human [ 08 сен 2012, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"

Последовательность частичных сумм [math]S_n[/math] ряда [math]A[/math] неограниченна. Действительно, так как члены ряда неотрицательны, то [math]S_n[/math] монотонно возрастает, поэтому если бы [math]S_n[/math] была ограниченной, то по теореме Вейерштрасса это означало бы, что [math]S_n[/math] сходится, что противоречит условию.

Далее, из неравенства [math]a_n\leqslant b_n[/math] следует, что [math]S_n\leqslant P_n[/math] ([math]P_n[/math] - последовательность частичных сумм ряда [math]B[/math]), а раз [math]S_n[/math] неограниченна, то и [math]P_n[/math] неограниченна, значит [math]P_n[/math] расходится (что равносильно расходимости ряда B)

Edit: В доказательстве я предполагал, что неравенство [math]a_n\leqslant b_n[/math] выполнено для всех [math]n[/math]. Если это не так, то нужно вместо [math]S_n[/math] и [math]P_n[/math] рассмотреть последовательности [math]C_n=S_{n+N}-S_N[/math] и [math]D_n=P_{n+N}-P_N[/math]. Тогда [math]C_n[/math] расходится, и выполнено неравенство [math]C_n\leqslant D_n[/math], откуда по приведённым выше рассуждениям следует расходимость [math]D_n[/math], а значит и [math]P_n[/math].

Edit2: Ещё одна поправка: существенно, что [math]S_n[/math] неограниченна сверху.

Автор:  Empire1411 [ 08 сен 2012, 18:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"

Спасибо большое! Очень помогли!

Автор:  Human [ 08 сен 2012, 18:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"

Вы там экзамен чтоли пишете? :(

Автор:  Empire1411 [ 09 сен 2012, 08:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"

Нет, просто пытыюсь разобраться с математикой. Мало что получается, так как никогда не понимала её. Я гуманитарий.)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/