Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство теоремы "Признак сравнения"
СообщениеДобавлено: 08 сен 2012, 18:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
10 май 2012, 13:18
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые математики. Напишите, пожалуйста, подробное доказательство 2 части теоремы "Признак сравнения", которая звучита так Если расходится ряд А, то расходится и ряд B.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"
СообщениеДобавлено: 08 сен 2012, 18:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 4125
Cпасибо сказано: 507
Спасибо получено:
1031 раз в 911 сообщениях
Очков репутации: 310

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можете посмотреть в книге Ильина и Позняка "Основы математического анализа".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"
СообщениеДобавлено: 08 сен 2012, 18:28 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
10 май 2012, 13:18
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не получается скачать книгу, просит активировать код по смс , сможете скопировать пример, иллюстрирующий доказательство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"
СообщениеДобавлено: 08 сен 2012, 18:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4014
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1779 раз в 1482 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Последовательность частичных сумм [math]S_n[/math] ряда [math]A[/math] неограниченна. Действительно, так как члены ряда неотрицательны, то [math]S_n[/math] монотонно возрастает, поэтому если бы [math]S_n[/math] была ограниченной, то по теореме Вейерштрасса это означало бы, что [math]S_n[/math] сходится, что противоречит условию.

Далее, из неравенства [math]a_n\leqslant b_n[/math] следует, что [math]S_n\leqslant P_n[/math] ([math]P_n[/math] - последовательность частичных сумм ряда [math]B[/math]), а раз [math]S_n[/math] неограниченна, то и [math]P_n[/math] неограниченна, значит [math]P_n[/math] расходится (что равносильно расходимости ряда B)

Edit: В доказательстве я предполагал, что неравенство [math]a_n\leqslant b_n[/math] выполнено для всех [math]n[/math]. Если это не так, то нужно вместо [math]S_n[/math] и [math]P_n[/math] рассмотреть последовательности [math]C_n=S_{n+N}-S_N[/math] и [math]D_n=P_{n+N}-P_N[/math]. Тогда [math]C_n[/math] расходится, и выполнено неравенство [math]C_n\leqslant D_n[/math], откуда по приведённым выше рассуждениям следует расходимость [math]D_n[/math], а значит и [math]P_n[/math].

Edit2: Ещё одна поправка: существенно, что [math]S_n[/math] неограниченна сверху.


Последний раз редактировалось Human 08 сен 2012, 19:13, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"
СообщениеДобавлено: 08 сен 2012, 19:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
10 май 2012, 13:18
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое! Очень помогли!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"
СообщениеДобавлено: 08 сен 2012, 19:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4014
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1779 раз в 1482 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы там экзамен чтоли пишете? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство теоремы "Признак сравнения"
СообщениеДобавлено: 09 сен 2012, 09:02 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
10 май 2012, 13:18
Сообщений: 99
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, просто пытыюсь разобраться с математикой. Мало что получается, так как никогда не понимала её. Я гуманитарий.)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Признак сравнения

в форуме Ряды

Abaranci

6

67

14 ноя 2017, 23:41

Сходимость (2-ой признак сравнения)

в форуме Ряды

Lenin1917

9

221

22 апр 2015, 09:17

Первый признак сравнения

в форуме Ряды

Arno

3

120

14 ноя 2015, 22:37

Теоремы сравнения для числовых рядов

в форуме Ряды

Jim

1

307

15 июн 2014, 08:45

Несобственный интеграл с использованием теоремы сравнения

в форуме Интегральное исчисление

olga__

1

75

05 апр 2016, 18:36

Исследовать сходимость ряда, используя теоремы сравнения.

в форуме Ряды

Jack

3

275

25 дек 2011, 18:19

Исследовать сходимость ряда используя теоремы сравнения.

в форуме Ряды

olshin

1

161

18 дек 2011, 19:45

Признак делимости на 7 - доказательство

в форуме Теория чисел

kosogor

4

169

27 сен 2017, 10:39

Доказательство теоремы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

MAKSUS_87

3

98

27 июн 2016, 14:52

Доказательство теоремы

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ELENA ASELBAEVA

1

149

25 фев 2015, 18:15


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Wulran и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved