Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Почему ряд расходится?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=15990
Страница 1 из 1

Автор:  Elenka [ 07 апр 2012, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Почему ряд расходится?

Добрый вечер! У меня есть знакопеременный ряд (от 2 до бесконечности) (-1)^n*(lnn)/n.
Решаю его с помощью признака признака Лейбница:
1. Его члены убывают по абсолютной величине (начиная со 2го): (ln2)2< (ln3)3> (ln4)4 >(ln5)5 > ...
2. Предел общего члена равен 0(нижняя часть (lnn)/n "растёт" быстрее, чем верхняя при n->бесконечность). Вывод - ряд сходится.
Но...Объясните, пожалуйста, почему Вольфрама "вещает" об обратном? Я что -то не так сделала? тут даже ошибиться особо негде, так-то :)

Автор:  Avgust [ 07 апр 2012, 17:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Плюйте на Вольфрам. Вы правы ряд сходится и равен:

[math]\sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{ln(n)}{n}=C ln(2)-\frac{ln^2(2)}{2}[/math]

где C - постоянная Эйлера, равная 0.5772156649...

В итоге сумма равна примерно 0.1598689037...

Но между прочим, Вольфрам дает в конце аппроксимацию - довольно длинное число - см. http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... .+infty%29

0.1598689037424309717569478703249165704962220237564587

Автор:  Elenka [ 07 апр 2012, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Вот и я о том же :) Ок, напишу, что сходится.
А вообще, не знаете, есть ли ещё какие сервисы для проверки подобных "бяк"? Чтоб на других примерах не виснуть

Автор:  Avgust [ 07 апр 2012, 18:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Проверил калькулятор сумм рядов - http://www.matcabi.net/sum.php

он сообщает, что ряд расходится. Нет веры калькуляторам! Надо надеятся на свою голову.

Изображение

Я БЫ ОТДАЛ ПРЕДПОЧТЕНИЕ ВОЛЬФРАМУ.

Автор:  Elenka [ 07 апр 2012, 18:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Это точно.
"Нет веры калькуляторам!" - сколько драмы в этом предложении - если с чувством сказать, то можно вам и на подмостки театра идти :D1

Автор:  Avgust [ 07 апр 2012, 18:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Пойдемте вместе! А? Ну ее, эту математику. На сцене хоть о приятном поговорим :Yahoo!:

Автор:  Elenka [ 07 апр 2012, 18:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Э нет, моего красноречия для этого явно недостаточно, " дальше" роли зрителя меня не пустят :)

Автор:  Na_Na [ 05 окт 2017, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Этот ряд (1 + 1/n)^(n^2)/2^n сходится или расходится? и почему???

Автор:  Avgust [ 05 окт 2017, 22:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Этот ряд сходится. Например, возьмем сумму первых 100 тыс. членов и рассчитаем в Maple:

evalf(sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. 100000));

Через минут пять выдается результат 0.1599264643

Ряд сходится крайне медленно и не всякому гиганту математики он по зубам.

А если сделать график:

plot(sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. m),m=2..10000);

то получим:

Изображение

Maple же легко численно справляется и выдает, скажем, 50 значащих цифр:

evalf[50](sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. infinity));

.15986890374243097175694787032491657049622202375646

Точного значения не знаю, но удалось получить такое приближение (18 верных цифр):

[math]\frac{97e^2-130e-235}{124e^2+609e+640}[/math]

Автор:  Avgust [ 06 окт 2017, 03:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Почему ряд расходится?

Чтобы теоретически доказать сходимость ряда, вспомним признак Лейбница.
1) Ряд знакочередующийся
2) Члены ряда убывают по модулю, причем монотонно.
Если 2 пункта выполняются, то ряд сходится.
То, что по модулю члены ряда монотонно убывают, доказывает график
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cln(n)%2Fn%7C

В бесконечном пределе, естественно, придем к нулю. Покажем это:

[math]\lim\limits_{n\to +\infty}\left |\frac{\ln (n)}{n} \right |= \left |\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\ln (n)}{n} \right |=\left |\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\frac 1n)}{1} \right |=0[/math]

Однако, сходимость бывает разная: абсолютная или условная. Тут приходим необходимости рассматривать исходную сумму, но по абсолютной величине. Если она сходится, то наш знакочередующийся ряд сходится абсолютно. Если же нет, то - условно.
К сожалению, ряд

[math]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left |\frac{\ln (n)}{n} \right |[/math]

расходится (члены этого рада больше, чем даже члены гармонического ряда, который расходится).

Таким образом наш исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/