Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 17:08 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
02 ноя 2010, 17:25
Сообщений: 53
Cпасибо сказано: 26
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер! У меня есть знакопеременный ряд (от 2 до бесконечности) (-1)^n*(lnn)/n.
Решаю его с помощью признака признака Лейбница:
1. Его члены убывают по абсолютной величине (начиная со 2го): (ln2)2< (ln3)3> (ln4)4 >(ln5)5 > ...
2. Предел общего члена равен 0(нижняя часть (lnn)/n "растёт" быстрее, чем верхняя при n->бесконечность). Вывод - ряд сходится.
Но...Объясните, пожалуйста, почему Вольфрама "вещает" об обратном? Я что -то не так сделала? тут даже ошибиться особо негде, так-то :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 17:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10172
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Плюйте на Вольфрам. Вы правы ряд сходится и равен:

[math]\sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{ln(n)}{n}=C ln(2)-\frac{ln^2(2)}{2}[/math]

где C - постоянная Эйлера, равная 0.5772156649...

В итоге сумма равна примерно 0.1598689037...

Но между прочим, Вольфрам дает в конце аппроксимацию - довольно длинное число - см. http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... .+infty%29

0.1598689037424309717569478703249165704962220237564587

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 17:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
02 ноя 2010, 17:25
Сообщений: 53
Cпасибо сказано: 26
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот и я о том же :) Ок, напишу, что сходится.
А вообще, не знаете, есть ли ещё какие сервисы для проверки подобных "бяк"? Чтоб на других примерах не виснуть

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 18:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10172
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверил калькулятор сумм рядов - http://www.matcabi.net/sum.php

он сообщает, что ряд расходится. Нет веры калькуляторам! Надо надеятся на свою голову.

Изображение

Я БЫ ОТДАЛ ПРЕДПОЧТЕНИЕ ВОЛЬФРАМУ.


Последний раз редактировалось Avgust 07 апр 2012, 18:39, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 18:39 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
02 ноя 2010, 17:25
Сообщений: 53
Cпасибо сказано: 26
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это точно.
"Нет веры калькуляторам!" - сколько драмы в этом предложении - если с чувством сказать, то можно вам и на подмостки театра идти :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 18:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10172
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пойдемте вместе! А? Ну ее, эту математику. На сцене хоть о приятном поговорим :Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 18:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
02 ноя 2010, 17:25
Сообщений: 53
Cпасибо сказано: 26
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Э нет, моего красноречия для этого явно недостаточно, " дальше" роли зрителя меня не пустят :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 05 окт 2017, 20:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 окт 2017, 20:25
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Этот ряд (1 + 1/n)^(n^2)/2^n сходится или расходится? и почему???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 05 окт 2017, 22:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10172
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Этот ряд сходится. Например, возьмем сумму первых 100 тыс. членов и рассчитаем в Maple:

evalf(sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. 100000));

Через минут пять выдается результат 0.1599264643

Ряд сходится крайне медленно и не всякому гиганту математики он по зубам.

А если сделать график:

plot(sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. m),m=2..10000);

то получим:

Изображение

Maple же легко численно справляется и выдает, скажем, 50 значащих цифр:

evalf[50](sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. infinity));

.15986890374243097175694787032491657049622202375646

Точного значения не знаю, но удалось получить такое приближение (18 верных цифр):

[math]\frac{97e^2-130e-235}{124e^2+609e+640}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему ряд расходится?
СообщениеДобавлено: 06 окт 2017, 03:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10172
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы теоретически доказать сходимость ряда, вспомним признак Лейбница.
1) Ряд знакочередующийся
2) Члены ряда убывают по модулю, причем монотонно.
Если 2 пункта выполняются, то ряд сходится.
То, что по модулю члены ряда монотонно убывают, доказывает график
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cln(n)%2Fn%7C

В бесконечном пределе, естественно, придем к нулю. Покажем это:

[math]\lim\limits_{n\to +\infty}\left |\frac{\ln (n)}{n} \right |= \left |\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\ln (n)}{n} \right |=\left |\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\frac 1n)}{1} \right |=0[/math]

Однако, сходимость бывает разная: абсолютная или условная. Тут приходим необходимости рассматривать исходную сумму, но по абсолютной величине. Если она сходится, то наш знакочередующийся ряд сходится абсолютно. Если же нет, то - условно.
К сожалению, ряд

[math]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left |\frac{\ln (n)}{n} \right |[/math]

расходится (члены этого рада больше, чем даже члены гармонического ряда, который расходится).

Таким образом наш исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Почему расходится ряд?

в форуме Ряды

crazymadman18

3

96

05 сен 2017, 13:17

Не могу понять, почему ряд не расходится

в форуме Ряды

MaksimB4

1

206

13 янв 2014, 17:39

Доказать, что ряд расходится

в форуме Ряды

NikSlim

5

553

23 дек 2012, 16:08

Как доказать что ряд расходится?

в форуме Ряды

Dringer

2

168

18 дек 2015, 00:45

Сходится или расходится ряд

в форуме Ряды

Samara321

6

284

02 янв 2014, 09:41

Сходится или расходится

в форуме Ряды

DIOLLlA

10

340

24 янв 2014, 15:50

Доказать, что ряд расходится

в форуме Ряды

corioliss666

1

94

02 сен 2016, 11:08

Ряд сходится или расходится?

в форуме Ряды

Vlad0777

3

258

17 дек 2012, 19:50

Ряд сходится или расходится?

в форуме Ряды

Noris44652

1

290

24 дек 2011, 19:26

Доказать, что последовательность расходится.

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Berry

1

532

13 ноя 2012, 02:31


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved