Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Elenka |
|
|
Решаю его с помощью признака признака Лейбница: 1. Его члены убывают по абсолютной величине (начиная со 2го): (ln2)2< (ln3)3> (ln4)4 >(ln5)5 > ... 2. Предел общего члена равен 0(нижняя часть (lnn)/n "растёт" быстрее, чем верхняя при n->бесконечность). Вывод - ряд сходится. Но...Объясните, пожалуйста, почему Вольфрама "вещает" об обратном? Я что -то не так сделала? тут даже ошибиться особо негде, так-то |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Плюйте на Вольфрам. Вы правы ряд сходится и равен:
[math]\sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{ln(n)}{n}=C ln(2)-\frac{ln^2(2)}{2}[/math] где C - постоянная Эйлера, равная 0.5772156649... В итоге сумма равна примерно 0.1598689037... Но между прочим, Вольфрам дает в конце аппроксимацию - довольно длинное число - см. http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... .+infty%29 0.1598689037424309717569478703249165704962220237564587 |
||
Вернуться к началу | ||
Elenka |
|
|
Вот и я о том же Ок, напишу, что сходится.
А вообще, не знаете, есть ли ещё какие сервисы для проверки подобных "бяк"? Чтоб на других примерах не виснуть |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Проверил калькулятор сумм рядов - http://www.matcabi.net/sum.php
он сообщает, что ряд расходится. Нет веры калькуляторам! Надо надеятся на свою голову. Я БЫ ОТДАЛ ПРЕДПОЧТЕНИЕ ВОЛЬФРАМУ. Последний раз редактировалось Avgust 07 апр 2012, 17:39, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Elenka |
|
|
Это точно.
"Нет веры калькуляторам!" - сколько драмы в этом предложении - если с чувством сказать, то можно вам и на подмостки театра идти |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Пойдемте вместе! А? Ну ее, эту математику. На сцене хоть о приятном поговорим
|
||
Вернуться к началу | ||
Elenka |
|
|
Э нет, моего красноречия для этого явно недостаточно, " дальше" роли зрителя меня не пустят
|
||
Вернуться к началу | ||
Na_Na |
|
|
Этот ряд (1 + 1/n)^(n^2)/2^n сходится или расходится? и почему???
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Этот ряд сходится. Например, возьмем сумму первых 100 тыс. членов и рассчитаем в Maple:
evalf(sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. 100000)); Через минут пять выдается результат 0.1599264643 Ряд сходится крайне медленно и не всякому гиганту математики он по зубам. А если сделать график: plot(sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. m),m=2..10000); то получим: Maple же легко численно справляется и выдает, скажем, 50 значащих цифр: evalf[50](sum((-1)^n*ln(n)/n, n = 2 .. infinity)); .15986890374243097175694787032491657049622202375646 Точного значения не знаю, но удалось получить такое приближение (18 верных цифр): [math]\frac{97e^2-130e-235}{124e^2+609e+640}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Чтобы теоретически доказать сходимость ряда, вспомним признак Лейбница.
1) Ряд знакочередующийся 2) Члены ряда убывают по модулю, причем монотонно. Если 2 пункта выполняются, то ряд сходится. То, что по модулю члены ряда монотонно убывают, доказывает график https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cln(n)%2Fn%7C В бесконечном пределе, естественно, придем к нулю. Покажем это: [math]\lim\limits_{n\to +\infty}\left |\frac{\ln (n)}{n} \right |= \left |\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\ln (n)}{n} \right |=\left |\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\frac 1n)}{1} \right |=0[/math] Однако, сходимость бывает разная: абсолютная или условная. Тут приходим необходимости рассматривать исходную сумму, но по абсолютной величине. Если она сходится, то наш знакочередующийся ряд сходится абсолютно. Если же нет, то - условно. К сожалению, ряд [math]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left |\frac{\ln (n)}{n} \right |[/math] расходится (члены этого рада больше, чем даже члены гармонического ряда, который расходится). Таким образом наш исходный знакочередующийся ряд сходится условно. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Почему расходится ряд?
в форуме Ряды |
3 |
296 |
05 сен 2017, 12:17 |
|
Почему ряд расходится?
в форуме Ряды |
11 |
284 |
19 янв 2020, 18:45 |
|
Как доказать что ряд расходится?
в форуме Ряды |
2 |
375 |
17 дек 2015, 23:45 |
|
Доказать, что ряд расходится
в форуме Ряды |
1 |
310 |
02 сен 2016, 10:08 |
|
Сходится или расходится ряд
в форуме Алгебра |
5 |
134 |
04 ноя 2022, 12:13 |
|
Сходится или расходится ряд
в форуме Алгебра |
4 |
145 |
08 ноя 2022, 17:28 |
|
Расходится ли интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
37 |
Вчера, 21:54 |
|
последовательность расходится?
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
9 |
632 |
06 мар 2019, 14:15 |
|
Определить сходится ряд или расходится
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
204 |
03 апр 2016, 16:21 |
|
Двойной интеграл расходится
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
222 |
03 ноя 2017, 01:08 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |