Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=84167
Страница 1 из 1

Автор:  Boris Skovoroda [ 03 дек 2024, 15:59 ]
Заголовок сообщения:  Доказать неравенство

Доказать, что для любых действительных чисел [math]a,b[/math] и [math]c,[/math] удовлетворяющих условиям: [math]0 \leqslant a \leqslant b^{2}[/math] и [math]b \leqslant 1,[/math] выполняется неравенство

[math]2ac+b^{3 } \leqslant ab+b^{2}+ac^{2}.[/math]

Автор:  revos [ 03 дек 2024, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

Boris Skovoroda
В силу условий, наложенных на числа [math]a,b,c, \quad a\left( c - 1 \right)^{2 } + \left(b^{2 } - a \right)\left( 1-b \right) \geqslant 0. \quad[/math] После раскрытия скобок и переноса двух соответствующих слагаемых в другую часть неравенства с противоположным знаком, получим требуемое неравенство.

Автор:  Boris Skovoroda [ 03 дек 2024, 18:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

Эта задача появилась в ходе решения другой задачи, но на нахождение этого простого решения я потратил гораздо больше времени, чем вы, revos.


Автор:  MurChik [ 03 дек 2024, 21:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

Можно так.

[math]2ac+b^{3}~[/math] ? [math]~ab+b^{2}+ac^{2}[/math]

[math]b^3-b^2~[/math] ? [math]~ab+ac^2-2ac[/math]

[math]b^2(b-1)~[/math] ? [math]~a(b+c^2-2c+1-1)[/math]

[math]b^2(b-1)~[/math] ? [math]~a\left[b-1+(c-1)^2\right]=a(b-1)+a(c-1)^2[/math]

[math]b^2(b-1)-a(b-1)~[/math] ? [math]~a(c-1)^2[/math]

[math](b^2-a)(b-1)~[/math] ? [math]~a(c-1)^2[/math]

Слева [math]~\leqslant 0~[/math], справа [math]~\geqslant 0~[/math]. Т.е. все верно.

Автор:  Boris Skovoroda [ 03 дек 2024, 22:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

У меня есть похожая задача, в которой нужно доказать противоположное неравенство, конечно, при других условиях. Не буду открывать новую тему и напишу её здесь.

Доказать, что для любых действительных чисел [math]a,b[/math] и [math]c[/math], удовлетворяющих условиям: [math]a \geqslant 0,[/math] [math]b \leqslant c \leqslant 1[/math] и [math]b^{2} \leqslant ac,[/math] выполняется неравенство

[math]ab+b^{2}+ac^{2} \leqslant 2ac+b^{3 }.[/math]

Автор:  revos [ Вчера, 00:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

[math]2ac + b^{3} - ab - b^{2 } - ac^{2} = \left( ac - ab \right) + \left( ac - ac^{2} \right) - \left( b^{2} - b^{3} \right) = a\left( c - b \right) + ac\left( 1 - c \right) - b^{2}\left( 1 - b \right) \geqslant a\left( c - b \right) + b^2\left( 1 - c \right) - b^{2}\left( 1 - b \right) = a\left( c - b \right) - b^{2}\left( c - b \right) = \left( a - b^{2} \right) \left(c - b \right) \geqslant \left( a - ac \right) \left( c - b \right) = a\left( 1 - c \right)\left( c - b \right) \geqslant 0.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/