Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 13 дек 2019, 14:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Через точку [math]P[/math] расположенную внутри параллелограмма [math]ABCD[/math] , проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Они пересекают стороны [math]AB. BC, CD, DA[/math] соответственно в точках [math]K, L, M, N[/math]. Пусть [math]Q[/math] точка пересечения средних линий четырехугольника [math]KLMN[/math], а [math]S[/math] точка пересечений диагоналей параллелограмма. Доказать что точка [math]Q[/math] лежит на [math]PS[/math], определить в каком отношении делит она этот отрезок.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 14 дек 2019, 19:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
chebo, FEBUS, Race
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 14 дек 2019, 20:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,

элегантно, но можно ли считать подобное наблюдение строгим решением?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 14 дек 2019, 21:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь главное - увидеть гомотетию, а доказательство её самое элементарное - точки A', B', C', D' лежат на лучах PA, PB, PC, PD, соответственно, причем делят эти отрезки посередине. Например, А' - середина РА, как точка пересечения диагоналей параллелограмма ANPK (так как A' середина KN по условию задачи).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 14 дек 2019, 21:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,

спасибо! Думал такое будет сложно решить без применения геометрии масс, но Вы снова отстояли честь Евклидовой геометрии)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 15 дек 2019, 18:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для того что бы в точке [math]Q[/math] был сосредоточен центр масс четырехугольника [math]KLMN[/math] необходимо в каждой из его вершин разместить равные массы, выберем единичную массу - [math]1K, 1L, 1M, 1N[/math].
Так как [math]ANPK[/math] параллелограмм, то центр масс отрезка [math]KN[/math] не изменится если перегруппировать эти массы в точки [math]A[/math] и [math]P[/math] - [math]1A, 1P[/math].
Аналогично для параллелограмма [math]LPMC[/math] перегруппируем массы [math]1L[/math] и [math]1M[/math] в точки [math]P[/math] и [math]C[/math] - [math]1P[/math] и [math]1C[/math].
Получили систему четырех точек [math]1P, 1P, 1A, 1C[/math] центр масс которой сосредоточек в точке [math]Q[/math], но так как в точках [math]A[/math] и [math]C[/math] расположены одинаковые массы, то центр масс отрезка [math]AC[/math] расположен на его середине в точке [math]S[/math].
Центр масс отрезка [math]PS[/math] принадлежит этому отрезку, а так как на его концах сосредоточены массы [math]2P=1P+1P, 2S=1A+1C[/math], то точка [math]Q[/math] делит отрезок [math]PS[/math] пополам.

При решении данной задачи использовались следующие принципы геометрии масс:
1. Положение точек системы можно изменять, если это не изменит центр масс системы;
2. Любая система точек с распределенными в них массами имеет только 1 центр масс;
3. Центр масс 2 точек принадлежит отрезку их соединяющему или его продолжению (если на одном из его концов расположена отрицательная масса) и определяется по Архимедову правилу рычага.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 16 дек 2019, 12:49 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да можно без всяких масс... По рабоче-крестьянски.
Изображение
Проведем из точки P линии, параллельные диагоналям параллелограмма. Получится новый параллелограмм PRST. Нетрудно показать, что точка Q - точка пересечения диагоналей этого прллгрмма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 16 дек 2019, 18:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo,
у michel все таки попроще) при помощи геометрии масс самое простое, а если серьезно, то геометрия тем и прекрасна, что одна и та же задача имеет множество различных решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 16 дек 2019, 19:21 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У Мишеля отличное решение, что и говорить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырёхугольник в параллелограмме
СообщениеДобавлено: 16 дек 2019, 22:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Более прозрачная картинка

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
Race
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диагонали в параллелограмме

в форуме Геометрия

sfanter

0

283

13 окт 2014, 10:39

Точки пересечения медиан треугольников в параллелограмме

в форуме Геометрия

Teo

3

717

06 июл 2016, 16:35

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

Kristinadefa

1

356

03 окт 2015, 21:14

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

sema_90

5

463

13 ноя 2016, 21:50

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

1

349

06 апр 2015, 14:56

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

11

863

13 апр 2015, 10:18

Четырехугольник

в форуме Геометрия

markmark2

4

175

15 фев 2021, 11:57

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

4

413

06 июн 2015, 09:23

Выпуклый четырехугольник

в форуме Геометрия

spins06

2

806

04 июл 2015, 06:28

Самопересекающийся четырехугольник

в форуме Геометрия

Race

19

1604

16 ноя 2016, 16:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved