Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 32 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
FEBUS |
|
|
Площади цветных треугольников равны [math]\; a, b, c.[/math] Сумма их площадей равна половине площади треугольника. Чему равны площади [math]\; Sa, Sb, Sc \;[/math] белых треугольников ? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Ради удобства переобозначим: [math]a'=S_a,b'=S_b,c'=S_c[/math]. Тогда из условия задачи и теоремы Чевы сразу получаем систему уравнений: [math]\left\{\!\begin{aligned}
& a'+b'+c'=a+b+c \\ & a'b'c'=abc \end{aligned}\right.[/math] Эта система имеет по крайней мере шесть решений, например [math]\left\{\!\begin{aligned} & a'=b \\ & b'=c \\ & c'=a \end{aligned}\right.[/math] и ещё пять вариантов, которые получаются перестановками в правой части [math]a,b,c[/math]. Есть ли ещё другие решения? Интуиция подсказывает, что больше решений нет, но надо ещё это доказать. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Выше был приведен алгебраический анализ, который должен быть дополнен геометрическим. Оказывается, что из шести возможных случаев геометрическую реализацию допускают только четыре.
|
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Если [math]\alpha, \beta, \gamma[/math] веса которые дают единицу в сумме и для которых центром масс треугольника (при условии, что они в вершинах) будет точка пересечения указаных линий, то площади a, b, c равны [math]\frac{\alpha\gamma}{1-\alpha}, \frac{\beta\alpha}{1-\beta}, \frac{\gamma\beta}{1-\gamma}[/math] (вся площадь равна 1). То что их сумма равна 0.5 влечет [math](\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=0[/math], то есть одна из линий медиана и значит искомые площади равны своим симметричным коллегам
|
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
michel писал(а): получаем систему уравнений: Ещё одно соотношение можно добавить в систему. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Даже три соотношения можно добавить, например:
[math]\frac{ a }{ a' }=\frac{ b+b' }{ c+c' }=\frac{a+b+b' }{ a'+c+c' }[/math] и ещё два подобных! Потом все эти уравнения скомбинировать и получить [math](a-a')(b-b')(c-c')(...)=0[/math], но это уже чистая алгебра! |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
michel писал(а): Даже три соотношения можно добавить, Достаточно этого [math]a'b'+a'c'+b'c' =ab+ac+bc[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали: michel |
||
michel |
|
|
Или [math]abc'+ab'c+a'bc=ab'c'+a'bc'+ab'c'[/math], тогда с учетом [math]abc=a'b'c'[/math] сразу выводим [math](a-a')(b-b')(c-c')=0[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
michel писал(а): Или [math]abc'+ab'c+a'bc=ab'c'+a'bc'+ab'c'[/math], тогда с учетом [math]abc=a'b'c'[/math] сразу выводим [math](a-a')(b-b')(c-c')=0[/math]. Это только в случае [math]\; a=b=c[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
FEBUS писал(а): michel писал(а): Даже три соотношения можно добавить, Достаточно этого [math]a'b'+a'c'+b'c' =ab+ac+bc[/math]. Все равно у нас получается шесть решений для [math]a',b',c'[/math] через перестановки [math]a,b,c[/math], но геометрически реализуются только четыре решения! FEBUS писал(а): michel писал(а): Или [math]abc'+ab'c+a'bc=ab'c'+a'bc'+ab'c'[/math], тогда с учетом [math]abc=a'b'c'[/math] сразу выводим [math](a-a')(b-b')(c-c')=0[/math]. Это только в случае [math]\; a=b=c[/math]. Проверил в ЖГ - это выполняется и для случая [math]a'=a,b'=c,c'=b[/math]! |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 32 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача по планиметрии про площади треугольников
в форуме Геометрия |
34 |
632 |
10 дек 2023, 08:32 |
|
Любопытная комбинаторная задача из ЕГЭ-2013
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
5 |
712 |
25 апр 2020, 20:56 |
|
Найдите площади каждого из этих треугольников
в форуме Геометрия |
1 |
421 |
27 окт 2014, 16:09 |
|
Задача о площадях треугольников
в форуме Геометрия |
2 |
583 |
23 ноя 2018, 15:24 |
|
Задача на подобие треугольников
в форуме Геометрия |
6 |
466 |
16 май 2017, 12:08 |
|
Задача на подобие треугольников.Как получить ответ?
в форуме Геометрия |
3 |
559 |
17 апр 2015, 11:58 |
|
Задача по обеспеченности общей жил. площади | 4 |
824 |
20 май 2016, 05:19 |
|
Задача по планиметрии на нахождение площади
в форуме Геометрия |
27 |
577 |
03 май 2019, 16:02 |
|
Задача по геометрии (площади, теорема Менелая)
в форуме Геометрия |
1 |
539 |
10 дек 2015, 02:37 |
|
Много треугольников
в форуме Геометрия |
2 |
264 |
09 дек 2020, 22:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |