Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 02:58 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 731
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
157 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Площади цветных треугольников равны [math]\; a, b, c.[/math]
Сумма их площадей равна половине площади треугольника.
Чему равны площади [math]\; Sa, Sb, Sc \;[/math] белых треугольников ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 08:59 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2832
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
934 раз в 865 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ради удобства переобозначим: [math]a'=S_a,b'=S_b,c'=S_c[/math]. Тогда из условия задачи и теоремы Чевы сразу получаем систему уравнений: [math]\left\{\!\begin{aligned}
& a'+b'+c'=a+b+c \\
& a'b'c'=abc
\end{aligned}\right.[/math]

Эта система имеет по крайней мере шесть решений, например
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a'=b \\
& b'=c \\
& c'=a
\end{aligned}\right.[/math]

и ещё пять вариантов, которые получаются перестановками в правой части [math]a,b,c[/math].
Есть ли ещё другие решения? Интуиция подсказывает, что больше решений нет, но надо ещё это доказать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 12:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2832
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
934 раз в 865 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выше был приведен алгебраический анализ, который должен быть дополнен геометрическим. Оказывается, что из шести возможных случаев геометрическую реализацию допускают только четыре.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 12:31 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
205 раз в 186 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]\alpha, \beta, \gamma[/math] веса которые дают единицу в сумме и для которых центром масс треугольника (при условии, что они в вершинах) будет точка пересечения указаных линий, то площади a, b, c равны [math]\frac{\alpha\gamma}{1-\alpha}, \frac{\beta\alpha}{1-\beta}, \frac{\gamma\beta}{1-\gamma}[/math] (вся площадь равна 1). То что их сумма равна 0.5 влечет [math](\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=0[/math], то есть одна из линий медиана и значит искомые площади равны своим симметричным коллегам

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 14:18 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 731
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
157 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
получаем систему уравнений:

Ещё одно соотношение можно добавить в систему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 14:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2832
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
934 раз в 865 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Даже три соотношения можно добавить, например:
[math]\frac{ a }{ a' }=\frac{ b+b' }{ c+c' }=\frac{a+b+b' }{ a'+c+c' }[/math]
и ещё два подобных! Потом все эти уравнения скомбинировать и получить [math](a-a')(b-b')(c-c')(...)=0[/math], но это уже чистая алгебра!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 14:58 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 731
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
157 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Даже три соотношения можно добавить,

Достаточно этого
[math]a'b'+a'c'+b'c' =ab+ac+bc[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 15:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2832
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
934 раз в 865 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Или [math]abc'+ab'c+a'bc=ab'c'+a'bc'+ab'c'[/math], тогда с учетом [math]abc=a'b'c'[/math] сразу выводим [math](a-a')(b-b')(c-c')=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 15:40 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 731
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
157 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Или [math]abc'+ab'c+a'bc=ab'c'+a'bc'+ab'c'[/math], тогда с учетом [math]abc=a'b'c'[/math] сразу выводим [math](a-a')(b-b')(c-c')=0[/math].

Это только в случае [math]\; a=b=c[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная задача. Площади треугольников
СообщениеДобавлено: 05 сен 2018, 08:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2832
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
934 раз в 865 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
michel писал(а):
Даже три соотношения можно добавить,

Достаточно этого
[math]a'b'+a'c'+b'c' =ab+ac+bc[/math].

Все равно у нас получается шесть решений для [math]a',b',c'[/math] через перестановки [math]a,b,c[/math], но геометрически реализуются только четыре решения!

FEBUS писал(а):
michel писал(а):
Или [math]abc'+ab'c+a'bc=ab'c'+a'bc'+ab'c'[/math], тогда с учетом [math]abc=a'b'c'[/math] сразу выводим [math](a-a')(b-b')(c-c')=0[/math].

Это только в случае [math]\; a=b=c[/math].

Проверил в ЖГ - это выполняется и для случая [math]a'=a,b'=c,c'=b[/math]!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачи на площади треугольников и четырёхугольников.

в форуме Геометрия

Jekkochka

8

454

25 фев 2012, 12:39

Найдите площади каждого из этих треугольников

в форуме Геометрия

Sashka 789

1

172

27 окт 2014, 16:09

Задача на подобие треугольников

в форуме Геометрия

Alexandr K

6

154

16 май 2017, 12:08

Задача на подобие треугольников.Как получить ответ?

в форуме Геометрия

Elizabeth

3

202

17 апр 2015, 11:58

Задача по обеспеченности общей жил. площади

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Gregorius

4

152

20 май 2016, 05:19

Найти отношение площади треугольника и площади трапеции

в форуме Геометрия

tovarz

18

2650

06 июн 2011, 09:25

Задача по геометрии (площади, теорема Менелая)

в форуме Геометрия

ppreston

1

208

10 дек 2015, 02:37

Сколько треугольников?

в форуме Геометрия

Evkulkova

3

291

09 сен 2014, 16:21

Подобие треугольников

в форуме Геометрия

asasdsa

1

468

01 май 2013, 21:37

Подобие треугольников

в форуме Геометрия

maksim-maksim

3

103

17 сен 2017, 19:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved