Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 12:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Так как второе слагаемое левой части уравнения меньше единицы (по модулю)
michel
Нет, при [math]y=0[/math] второе слагаемое не меньше единицы по модулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 12:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Этот очевидный случай сразу исключается, так как второе слагаемое не будет дробью...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 13:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Этот очевидный случай сразу исключается, так как второе слагаемое не будет дробью...

Это не исключает ошибочность вашего утверждения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 13:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Между прочим, в предыдущих сообщениях тоже остались незамеченные ошибочные утверждения! У нас пока идет рабочая дискуссия по поводу рациональных способов решения задачи, поэтому не стоит мелочиться по этому поводу. Что касается моего сообщения, то главной целью было указать, что все сводится к примитивному перебору двух случаев!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 14:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Между прочим, в предыдущих сообщениях тоже остались незамеченные ошибочные утверждения!

Ну, почему же незамеченные?
Я же заметил. Не из мелочности, для порядка. Просто заметил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 15:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
michel писал(а):
Между прочим, в предыдущих сообщениях тоже остались незамеченные ошибочные утверждения!

Ну, почему же незамеченные?
Я же заметил. Не из мелочности, для порядка. Просто заметил.


Вероятно mishel имел ввиду мое сообщение, которое все проигнорировали. Но я уже понял, что уравнение нельзя домножать(сокращать) на переменную, потому, что получится несовместное с исходным уравнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 15:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересно, а можно рассуждать так:
[math]\frac{1}{1+\frac{1}{z}}=t[/math], тогда [math]x+t=\frac{11}{7}[/math], здесь мы рассматриваем скалярную сумму [math]x,t[/math]. А теперь представим, что [math]x,t[/math] - это векторы, направление которых совпадает с осями координат декартовой системы, тогда их векторная сумма [math]x^2+t^2=\frac{121}{49}[/math] - мы получили уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом [math]\approx 2.6[/math]. При этом [math]x[/math] для этой окружности может меняться в диапазоне [math]\approx [-2.6,2.6][/math], но нас, по условию, интересуют только целые значения [math]x[/math], которые представляют собой множество: [math][-2,-1,1,2][/math]?

Далее находим значения [math]t[/math], соответствующие целым значениям [math]x[/math] на окружности и выбираем из них подходящие.

Есть ли в этих рассуждениях ошибка?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 18:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, вижу свои ошибки:
положим
[math]t=\frac{1}{y+\frac{1}{z}}[/math], тогда [math]x+t=\frac{11}{7}[/math], откуда [math]t=x-\frac{11}{7}[/math].

Представим, что [math]t,x[/math] - векторы, совпадающие по направлению с осями системы координат, проведенные из её начала, тогда их векторная сумма [math]x^2+t^2= x^2+(x-\frac{11}{7})^2=2x^2-\frac{22}{7}x+\frac{121}{49}[/math].

Приплыли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 20:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Приплыли?
Утонули

[math]7(x-1)+\frac{7z}{yz+1}=4[/math]

Тут все в целых, z взаимнопростое с [math]yz+1[/math], следовательно [math](yz+1)\mid 7[/math] Случаи [math]yz+1=\pm 1[/math] не рассматриваем, т.к. тогда левая часть делится на 7, а правая - нет. Следовательно [math]yz+1=\pm 7[/math]

1) [math]yz=6[/math]. z - делитель 6 и [math]z\equiv 4 \pmod 7[/math]
Едиснственное решение [math]z=-3 (y=-2)[/math]

2) [math]yz=-8[/math]. z - делитель -8 и [math]z\equiv -4 \pmod 7[/math]
Едиснственное решение [math]z=-4 (y=2)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
ivashenko, VERESK
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
СообщениеДобавлено: 03 сен 2018, 21:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В общем случае, для уравнения [math]x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac p q[/math]

естственно [math]\gcd(p,q)=1, q>0[/math]

Среди делителей [math]q-1[/math] и [math]q+1[/math] ищем [math]\pm p \pmod q[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
ivashenko
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 2 из 5 [ Сообщений: 49 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

nuclscient

7

276

08 мар 2023, 18:46

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

one man

8

280

08 мар 2023, 20:55

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

mdauletiyarov

11

488

27 авг 2023, 10:51

Уравнение в целых числах

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vlad97881

4

342

06 апр 2019, 15:40

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

KseniyaM

4

495

07 май 2014, 20:29

Уравнение в целых числах

в форуме Теория чисел

showtime200000

5

336

11 дек 2019, 10:37

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

zakharova-forum

2

283

11 июл 2020, 20:43

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

bekean

8

451

10 май 2019, 16:09

Уравнение в целых числах

в форуме Алгебра

Bolshova Sveta

5

401

13 дек 2018, 15:38

Уравнение в целых числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

AnnaIvan

2

488

13 окт 2016, 23:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 3axap и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved