Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Anatole |
|
|
[math]x^{2}+(1-2a)x +a-4=0[/math] больше [math]\frac{ \pi }{ 4}[/math]? После первой попытки к своему удивлению решил неправильно. Пришлось порассуждать, но мне кажется, что должно быть простое изящное решение. На какое и надеюсь посмотреть с Вашей помощью. Задача из вступительных испытаний на мех-мат МГУ. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
Гм, а разве это не прямое следствие формулы [math]\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg}\frac{x+y}{1-x \cdot y}[/math]?
Каковые сумма и произведение получаются напрямую из теоремы Виета? |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Нет, не всегда сумма арктангенсов равна арктангенсу (x+y)/(1-x*y)
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Booker48 писал(а): Гм, а разве это не прямое следствие формулы [math]\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg}\frac{x+y}{1-x \cdot y}[/math]? Каковые сумма и произведение получаются напрямую из теоремы Виета? Области значений не совпадают. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
[math]1) \operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = \operatorname{arctg}\frac{ x + y }{ 1 - xy }[/math], если [math]xy < 1 ;[/math]
[math]2) \operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = \pi + \operatorname{arctg}\frac{ x + y }{ 1 - xy },[/math] если [math]xy > 1[/math] и [math]x > 0;[/math] [math]3) \operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = - \pi + \operatorname{arctg}\frac{ x + y }{ 1 - xy },[/math] если [math]xy > 1[/math] и [math]x < 0;[/math] Так что надо решат три системы неравенств : [math]1') \frac{ 2a - 1 }{ 1 -(a-4) } > \frac{ \pi }{ 4 }[/math] и [math]a - 4 < 1 ;[/math] [math]2') \frac{ 2a - 1 }{ 1 -(a-4) } + \pi > \frac{ \pi }{ 4 }[/math] и [math](2a - 1>0) \land (a - 4 > 1) ;[/math] [math]3') \frac{ 2a - 1 }{ 1 -(a-4) } - \pi > \frac{ \pi }{ 4 }[/math] и [math](2a - 1<0) \land (a - 4 > 1) ;[/math] P.S. Сразу видно что множество решения [math](2a - 1<0) \land (a - 4 > 1)[/math] пусто. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Tantan, у Вас в левых частях неравенств 1')-3') пропущены арктангенсы от дробно-рациональных выражений.
Если решать по схеме Booker48, то получаем промежуток для параметра [math](2;5)[/math], но нетрудно убедиться, что при [math]a=5[/math] сумма арктангенсов будет равна [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math], а при [math]a > 5[/math] будет [math]arctg x_1+arctg x_2 >\frac{ \pi }{ 2 }[/math], т.е. правильным ответом будет [math]a>2[/math]. Быстрее можно было решить, рассматривая сначала случай равенства суммы арктангенсов [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math], тогда с помощью формулы booker48 устанавливаем [math]a=2[/math]. Дальше используем свойство непрерывности функции для суммы арктангенсов - просто проверяем значения параметра [math]a[/math] больше или меньше [math]a=2[/math]. Существенную роль играет ещё исходное квадратное уравнение, которое имеет корни для любого значения параметра [math]a[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Anatole |
||
Tantan |
|
|
[math]michel,[/math]
Разумеется аркустангенсов надо быть - допустил техническую ошибку! Спосибо! |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Я делал так |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Anatole |
||
Fenix |
|
|
[math]\operatorname{tg}{ \alpha }=x_{1}<x_{2}=\operatorname{tg}{ \beta }, \quad \; -\frac{ \pi}{2 }< \alpha< \beta <\frac{ \pi }{2 }, \; \quad \alpha + \beta >\frac{\pi}{ 4}[/math].
Стало быть, [math]0< \frac{\pi}{8}< \beta < \frac{\pi}{2}; \quad\frac{\pi}{4}- \beta < \alpha < \beta[/math]. Откуда, [math]\operatorname{tg}{\frac{\pi}{8} }< x_{2}; \quad \frac{ 1-x_{1} }{1+x_{2} }< x_{1}; \quad x_{1} +x_{2} +x_{1} x_{2} >1; \quad a-4+2a-1>1; \quad a>2.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Ищу профессионалов подсчёта
в форуме Объявления участников Форума |
1 |
358 |
13 сен 2019, 17:16 |
|
Информация для любителей ВТФ
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
244 |
11 окт 2018, 13:58 |
|
Неравенство. Для любителей | 4 |
514 |
06 июл 2018, 02:39 |
|
Четырехугольник. Задача для любителей | 5 |
609 |
13 сен 2018, 21:39 |
|
Для любителей искать математические ошибки | 5 |
524 |
26 окт 2020, 12:51 |
|
Маленькая головоломка для любителей логарифмов
в форуме Алгебра |
5 |
460 |
09 июл 2018, 22:22 |
|
Заходите на форум любителей головоломок
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
402 |
15 июн 2016, 01:51 |
|
Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
в форуме Геометрия |
12 |
545 |
07 июл 2018, 11:58 |
|
Клуб любителей математики (Санкт-Петербург)
в форуме Объявления участников Форума |
1 |
751 |
22 апр 2016, 12:35 |
|
Параметр
в форуме Алгебра |
6 |
337 |
29 янв 2018, 21:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |