Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 16 июл 2018, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти все [math]a[/math], при которых сумма арктангенсов корней уравнения

[math]x^{2}+(1-2a)x +a-4=0[/math]

больше [math]\frac{ \pi }{ 4}[/math]?

После первой попытки к своему удивлению решил неправильно.
Пришлось порассуждать, но мне кажется, что должно быть простое изящное решение.
На какое и надеюсь посмотреть с Вашей помощью.

Задача из вступительных испытаний на мех-мат МГУ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 16 июл 2018, 21:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Гм, а разве это не прямое следствие формулы [math]\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg}\frac{x+y}{1-x \cdot y}[/math]?
Каковые сумма и произведение получаются напрямую из теоремы Виета?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 16 июл 2018, 22:47 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, не всегда сумма арктангенсов равна арктангенсу (x+y)/(1-x*y)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 17 июл 2018, 08:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
Гм, а разве это не прямое следствие формулы [math]\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg}\frac{x+y}{1-x \cdot y}[/math]?
Каковые сумма и произведение получаются напрямую из теоремы Виета?

Области значений не совпадают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 17 июл 2018, 10:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]1) \operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = \operatorname{arctg}\frac{ x + y }{ 1 - xy }[/math], если [math]xy < 1 ;[/math]

[math]2) \operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = \pi + \operatorname{arctg}\frac{ x + y }{ 1 - xy },[/math] если [math]xy > 1[/math] и [math]x > 0;[/math]

[math]3) \operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = - \pi + \operatorname{arctg}\frac{ x + y }{ 1 - xy },[/math] если [math]xy > 1[/math] и [math]x < 0;[/math]

Так что надо решат три системы неравенств :
[math]1') \frac{ 2a - 1 }{ 1 -(a-4) } > \frac{ \pi }{ 4 }[/math] и
[math]a - 4 < 1 ;[/math]
[math]2') \frac{ 2a - 1 }{ 1 -(a-4) } + \pi > \frac{ \pi }{ 4 }[/math] и
[math](2a - 1>0) \land (a - 4 > 1) ;[/math]
[math]3') \frac{ 2a - 1 }{ 1 -(a-4) } - \pi > \frac{ \pi }{ 4 }[/math] и
[math](2a - 1<0) \land (a - 4 > 1) ;[/math]
P.S.
Сразу видно что множество решения [math](2a - 1<0) \land (a - 4 > 1)[/math] пусто.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 17 июл 2018, 13:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan, у Вас в левых частях неравенств 1')-3') пропущены арктангенсы от дробно-рациональных выражений.
Если решать по схеме Booker48, то получаем промежуток для параметра [math](2;5)[/math], но нетрудно убедиться, что при [math]a=5[/math] сумма арктангенсов будет равна [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math], а при [math]a > 5[/math] будет [math]arctg x_1+arctg x_2 >\frac{ \pi }{ 2 }[/math], т.е. правильным ответом будет [math]a>2[/math].
Быстрее можно было решить, рассматривая сначала случай равенства суммы арктангенсов [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math], тогда с помощью формулы booker48 устанавливаем [math]a=2[/math]. Дальше используем свойство непрерывности функции для суммы арктангенсов - просто проверяем значения параметра [math]a[/math] больше или меньше [math]a=2[/math]. Существенную роль играет ещё исходное квадратное уравнение, которое имеет корни для любого значения параметра [math]a[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 17 июл 2018, 14:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]michel,[/math]
Разумеется аркустангенсов надо быть - допустил техническую ошибку! Спосибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 17 июл 2018, 16:11 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Я делал так

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Параметр для любителей и профессионалов
СообщениеДобавлено: 13 дек 2018, 22:21 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
07 дек 2018, 20:55
Сообщений: 242
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
43 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: -26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\operatorname{tg}{ \alpha }=x_{1}<x_{2}=\operatorname{tg}{ \beta }, \quad \; -\frac{ \pi}{2 }< \alpha< \beta <\frac{ \pi }{2 }, \; \quad \alpha + \beta >\frac{\pi}{ 4}[/math].
Изображение
Стало быть,
[math]0< \frac{\pi}{8}< \beta < \frac{\pi}{2}; \quad\frac{\pi}{4}- \beta < \alpha < \beta[/math].
Откуда,
[math]\operatorname{tg}{\frac{\pi}{8} }< x_{2}; \quad \frac{ 1-x_{1} }{1+x_{2} }< x_{1}; \quad x_{1} +x_{2} +x_{1} x_{2} >1; \quad a-4+2a-1>1; \quad a>2.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ищу профессионалов подсчёта

в форуме Объявления участников Форума

envo3

1

358

13 сен 2019, 17:16

Информация для любителей ВТФ

в форуме Объявления участников Форума

Andy

0

244

11 окт 2018, 13:58

Неравенство. Для любителей

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

FEBUS

4

514

06 июл 2018, 02:39

Четырехугольник. Задача для любителей

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

FEBUS

5

609

13 сен 2018, 21:39

Для любителей искать математические ошибки

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

WithLoveIn

5

524

26 окт 2020, 12:51

Маленькая головоломка для любителей логарифмов

в форуме Алгебра

Anatole

5

460

09 июл 2018, 22:22

Заходите на форум любителей головоломок

в форуме Объявления участников Форума

GELO

0

402

15 июн 2016, 01:51

Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии

в форуме Геометрия

FEBUS

12

545

07 июл 2018, 11:58

Клуб любителей математики (Санкт-Петербург)

в форуме Объявления участников Форума

timber

1

751

22 апр 2016, 12:35

Параметр

в форуме Алгебра

Yabereza2603

6

337

29 янв 2018, 21:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved