Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Human |
|
|
[math]\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^{\pi}+1}[/math] А для тех, кто решит воспользоваться вольфрамом или подобными сервисами, — доказать, что эти сервисы не врут |
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
А если взять под интегралом
[math]\frac{ 1 }{ x^{α} + 1 } = \frac{ 1 }{ e^{α\ln{x} +1 } }[/math], где α - произвольное действительное число? Последний раз редактировалось sergebsl 27 апр 2018, 12:29, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
sergebsl писал(а): А если взять под интегралом [math]\frac{ 1 }{ x^{α} + 1 }[/math], где α - произвольное действительное число? Если хотите, можете и в этих случаях попытаться найти ответ. Он есть и тоже довольно симпатичный |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Это же очевидно:
[math]\int \limits_0^{\infty} \frac{1}{x^a+1}\, dx=\frac{\pi \,a^{-1}}{\sin(\pi \,a^{-1})}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Human, sergebsl |
||
Human |
|
|
Avgust
Ответ, разумеется, верный, и найти его в литературе труда не составляет. А как выводили? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Если честно, сначала Ваш интеграл взял численно методом прямоугольников с большой точностью и получил
1,188395 Это число ввел в Вольфрам и он мне показал что будет csc(1) https://www.wolframalpha.com/input/?i=1.188395 |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Avgust, а при остальных [math]a[/math]? Ну и все же хотелось бы посмотреть хоть на какой-то вывод, а не на численное "угадывание".
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Расскажу идею:
[math]\frac{1}{x^3+1}=\frac{2-x}{3(x^2-x+1)}+\frac{1}{3(x+1)}[/math] [math]\frac{1}{x^4+1}=\frac{\sqrt{2}\cdot x-2}{-4(x^2-\sqrt{2}x+1)}+\frac{\sqrt{2}\cdot x+2}{4(x^2+\sqrt{2}x+1)}[/math] [math]\frac{1}{x^5+1}=\frac{-\sqrt{5}(5+\sqrt{5})\cdot x+20}{25[2x^2-(1+\sqrt{5})\cdot x+2]}+\frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{5})\cdot x+20}{25[2x^2-(\sqrt{5}-1)\cdot x+2]}+\frac{1}{5(x+1)}[/math] Интегралы от таких дробей берутся легко. Я это проделал и нашел общую закономерность, которую написал в первом своем посте. |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
[math]\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{a - 1}}dx}}{{1 + {x^b}}}} = \left( {y = \frac{{{x^b}}}{{1 + {x^b}}}} \right) = \frac{1}{b}\int\limits_0^1 {{y^{\frac{a}{b} - 1}}{{\left( {1 - y} \right)}^{1 - \frac{a}{b} - 1}}dy} = \frac{1}{b}{\rm B}\left( {\frac{a}{b},1 - \frac{a}{b}} \right) = \frac{\pi }{{b\sin \frac{{\pi a}}{b}}}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Human |
||
Li6-D |
|
|
Без бета функции, но с разложением косеканса: [math]\int\limits_0^{+\infty}{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}= \int\limits_0^1{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}+ \int\limits_1^{+\infty}{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}[/math].
Второй интеграл после замены переменной [math]x = \frac{1}{y}[/math] равен [math]\int\limits_0^1{\frac{{{y^{p - 2}}}}{{1 +{y^p}}}}dy[/math]. Для [math]x,y \in \left[{0,1}\right)[/math] подинтегральные функции можно разложить в степенные ряд и проинтегрировать, получив сходящиеся ряды при [math]{p^{- 1}}\notin{\mathbb{Z}}[/math]: [math]\int\limits_0^1{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}= \int\limits_0^1{\left({1 -{x^p}+{x^{2p}}-{x^{3p}}+\ldots}\right)}dx = 1 - \frac{1}{{p + 1}}+ \frac{1}{{2p + 1}}- \frac{1}{{3p + 1}}+ \ldots[/math], [math]\int\limits_0^1 {\frac{{{y^{p - 2}}dy}}{{1 + {y^p}}}} = \int\limits_0^1 {\left( {{y^{p - 2}} - {y^{2p - 2}} + {y^{3p - 2}} - \ldots } \right)} dy = \frac{1}{{p - 1}} - \frac{1}{{2p - 1}} + \frac{1}{{3p - 1}}-\ldots[/math] В сумме получаем ряд для нашего интеграла: [math]1 + \frac{2}{{{p^2}- 1}}- \frac{2}{{{2^2}{p^2}- 1}}+ \frac{2}{{{3^2}{p^2}- 1}}- \ldots = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{2{{( - 1)}^n}}}{{1 -{p^2}{n^2}}}}[/math], А теперь вспоминаем разложение косеканса: [math]\frac{1}{{\sin x}}= \frac{1}{x}+ \sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{2x{{\left({- 1}\right)}^n}}}{{{x^2}-{\pi ^2}{n^2}}}},\quad \frac{x}{\pi}\notin{\mathbb{Z}}[/math], в нем положим [math]x = \frac{\pi}{p}\Rightarrow \frac{1}{{\sin \left({\pi{p^{- 1}}}\right)}}= \frac{p}{\pi}+ \frac{p}{\pi}\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{2{{\left({- 1}\right)}^n}}}{{1 -{p^2}{n^2}}}}\Rightarrow \int\limits_0^{+\infty}{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}= \frac{{\pi{p^{- 1}}}}{{\sin \left({\pi{p^{- 1}}}\right)}},\quad{p^{- 1}}\notin{\mathbb{Z}}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Human |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
107 |
16 май 2020, 14:06 |
|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
157 |
28 мар 2020, 11:07 |
|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
117 |
29 янв 2020, 22:26 |
|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
208 |
18 ноя 2019, 08:34 |
|
Вычислить интеграл (несобственный)
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
294 |
28 мар 2019, 02:58 |
|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
644 |
30 апр 2014, 19:29 |
|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
238 |
08 ноя 2018, 10:38 |
|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
643 |
10 мар 2015, 20:11 |
|
Вычислить несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
390 |
16 май 2016, 15:35 |
|
Вычислить несобственный интеграл | 6 |
799 |
07 окт 2015, 17:45 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |