Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 27 апр 2018, 12:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислить несколько стандартный, но довольно симпатичный интеграл

[math]\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^{\pi}+1}[/math]

А для тех, кто решит воспользоваться вольфрамом или подобными сервисами, — доказать, что эти сервисы не врут :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 27 апр 2018, 12:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А если взять под интегралом

[math]\frac{ 1 }{ x^{α} + 1 } = \frac{ 1 }{ e^{α\ln{x} +1 } }[/math], где α - произвольное действительное число?


Последний раз редактировалось sergebsl 27 апр 2018, 12:29, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 27 апр 2018, 12:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sergebsl писал(а):
А если взять под интегралом

[math]\frac{ 1 }{ x^{α} + 1 }[/math], где α - произвольное действительное число?

Если хотите, можете и в этих случаях попытаться найти ответ. Он есть и тоже довольно симпатичный :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 27 апр 2018, 13:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это же очевидно:

[math]\int \limits_0^{\infty} \frac{1}{x^a+1}\, dx=\frac{\pi \,a^{-1}}{\sin(\pi \,a^{-1})}[/math]

:Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Human, sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 27 апр 2018, 14:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Ответ, разумеется, верный, и найти его в литературе труда не составляет. А как выводили?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 27 апр 2018, 14:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если честно, сначала Ваш интеграл взял численно методом прямоугольников с большой точностью и получил
1,188395
Это число ввел в Вольфрам и он мне показал что будет csc(1)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1.188395

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 28 апр 2018, 17:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, а при остальных [math]a[/math]? Ну и все же хотелось бы посмотреть хоть на какой-то вывод, а не на численное "угадывание".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2018, 11:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Расскажу идею:

[math]\frac{1}{x^3+1}=\frac{2-x}{3(x^2-x+1)}+\frac{1}{3(x+1)}[/math]

[math]\frac{1}{x^4+1}=\frac{\sqrt{2}\cdot x-2}{-4(x^2-\sqrt{2}x+1)}+\frac{\sqrt{2}\cdot x+2}{4(x^2+\sqrt{2}x+1)}[/math]

[math]\frac{1}{x^5+1}=\frac{-\sqrt{5}(5+\sqrt{5})\cdot x+20}{25[2x^2-(1+\sqrt{5})\cdot x+2]}+\frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{5})\cdot x+20}{25[2x^2-(\sqrt{5}-1)\cdot x+2]}+\frac{1}{5(x+1)}[/math]

Интегралы от таких дробей берутся легко. Я это проделал и нашел общую закономерность, которую написал в первом своем посте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2018, 11:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{a - 1}}dx}}{{1 + {x^b}}}} = \left( {y = \frac{{{x^b}}}{{1 + {x^b}}}} \right) = \frac{1}{b}\int\limits_0^1 {{y^{\frac{a}{b} - 1}}{{\left( {1 - y} \right)}^{1 - \frac{a}{b} - 1}}dy} = \frac{1}{b}{\rm B}\left( {\frac{a}{b},1 - \frac{a}{b}} \right) = \frac{\pi }{{b\sin \frac{{\pi a}}{b}}}[/math]

[math]\frac{1}{y} = \frac{1}{{{x^b}}} + 1\\
{x^b} = \frac{y}{{1 - y}}\\
\frac{{dy}}{{b{y^2}}} = \frac{{dx}}{{{x^{b + 1}}}}\\
\frac{{{x^{a - 1}}dx}}{{1 + {x^b}}} = \frac{{{x^{a - 1}}ydx}}{{{x^b}}} = \frac{{{x^a}}}{{by}}dy = \frac{1}{{by}}{y^{\frac{a}{b}}}{\left( {1 - y} \right)^{ - \frac{a}{b}}}dy = \frac{1}{b}{y^{\frac{a}{b} - 1}}{\left( {1 - y} \right)^{1 - \frac{a}{b} - 1}}dy[/math]





P.S.
П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова "Высшая математика в упражненияхи задачах" часть 2, пример 169.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2018, 20:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Без бета функции, но с разложением косеканса: [math]\int\limits_0^{+\infty}{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}= \int\limits_0^1{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}+ \int\limits_1^{+\infty}{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}[/math].
Второй интеграл после замены переменной [math]x = \frac{1}{y}[/math] равен [math]\int\limits_0^1{\frac{{{y^{p - 2}}}}{{1 +{y^p}}}}dy[/math].
Для [math]x,y \in \left[{0,1}\right)[/math] подинтегральные функции можно разложить в степенные ряд и проинтегрировать, получив сходящиеся ряды при [math]{p^{- 1}}\notin{\mathbb{Z}}[/math]:
[math]\int\limits_0^1{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}= \int\limits_0^1{\left({1 -{x^p}+{x^{2p}}-{x^{3p}}+\ldots}\right)}dx = 1 - \frac{1}{{p + 1}}+ \frac{1}{{2p + 1}}- \frac{1}{{3p + 1}}+ \ldots[/math],
[math]\int\limits_0^1 {\frac{{{y^{p - 2}}dy}}{{1 + {y^p}}}} = \int\limits_0^1 {\left( {{y^{p - 2}} - {y^{2p - 2}} + {y^{3p - 2}} - \ldots } \right)} dy = \frac{1}{{p - 1}} - \frac{1}{{2p - 1}} + \frac{1}{{3p - 1}}-\ldots[/math]
В сумме получаем ряд для нашего интеграла:
[math]1 + \frac{2}{{{p^2}- 1}}- \frac{2}{{{2^2}{p^2}- 1}}+ \frac{2}{{{3^2}{p^2}- 1}}- \ldots = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{2{{( - 1)}^n}}}{{1 -{p^2}{n^2}}}}[/math],
А теперь вспоминаем разложение косеканса: [math]\frac{1}{{\sin x}}= \frac{1}{x}+ \sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{2x{{\left({- 1}\right)}^n}}}{{{x^2}-{\pi ^2}{n^2}}}},\quad \frac{x}{\pi}\notin{\mathbb{Z}}[/math],
в нем положим [math]x = \frac{\pi}{p}\Rightarrow \frac{1}{{\sin \left({\pi{p^{- 1}}}\right)}}= \frac{p}{\pi}+ \frac{p}{\pi}\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{2{{\left({- 1}\right)}^n}}}{{1 -{p^2}{n^2}}}}\Rightarrow \int\limits_0^{+\infty}{\frac{{dx}}{{1 +{x^p}}}}= \frac{{\pi{p^{- 1}}}}{{\sin \left({\pi{p^{- 1}}}\right)}},\quad{p^{- 1}}\notin{\mathbb{Z}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Human
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

2

107

16 май 2020, 14:06

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Korifa

3

157

28 мар 2020, 11:07

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Andrey Egorov

8

117

29 янв 2020, 22:26

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Xlebushek_69

4

208

18 ноя 2019, 08:34

Вычислить интеграл (несобственный)

в форуме Интегральное исчисление

351w

2

294

28 мар 2019, 02:58

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

zhekkk

2

644

30 апр 2014, 19:29

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

denis1999

1

238

08 ноя 2018, 10:38

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

8

643

10 мар 2015, 20:11

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Adel2015

2

390

16 май 2016, 15:35

Вычислить несобственный интеграл

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

6

799

07 окт 2015, 17:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved