Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
FEBUS |
|
|
Тела попарно касаются. Радиус цилиндра ρ известен. Чему равны радиусы шаров? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Li6-D |
|
|
Из взаимного касания четырех сфер и плоскости у меня получилось, что [math]R = (2 + \sqrt 3 )r ={3,7320508...r}[/math].
Насколько понял, цилиндр касается этих сфер и еще плоскости? Понятно, что есть две плоскости симметрии «конструкции» из сфер. Выходит что цилиндр «направлен» к этим плоскостям под каким-то углом, а его радиус весьма мал [math]\rho < \frac{1}{4}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Li6-D писал(а): Насколько понял, цилиндр касается этих сфер и еще плоскости? Да, конечно. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Есть одна идейка . Понятно, что тут внешнее касание.
Будем уменьшать радиус цилиндра, увеличивать на ту же величину радиусы шаров не меняя положение центров, и приближать плоскость к оси цилиндра (параллельное перемещение). Когда радиус цилиндра уменьшится до нуля, он обратится в прямую. Линия оси цилиндра и круги пересечения шаров с плоскостью в этот момент будут выглядеть так: Здесь чисто схема, не в масштабе. Относительное положение центров кругов известно - они образуют ромб, диагонали которого равны начальным диаметрам сфер. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: FEBUS |
||
Li6-D |
|
|
Вот точные построения с помощью живой математики:
Рисунок 1 Рисунок 2 На первом рисунке дана проекция тел на плоскость касания. Черные круги – проекции малых сфер, зеленые – больших, красные линии – цилиндр. На втором рисунке дана проекция тел на плоскость перпендикулярную оси цилиндра, при этом сам цилиндр выглядит как красный круг, касающийся проекций сфер и горизонтальной линии – проекции плоскости. Соотношение [math]R = \left({2 + \sqrt 3}\right)r[/math] можно найти, рассматривая трапецию, образованную центрами большой и малых сфер и проекциями центров на плоскость касания (точки O,o,O',o'). Формулу [math]\frac{1}{{4\rho}}= \frac{1}{R}+ \frac{1}{r}[/math] несложно вывести из соображений, которые я дал выше. Отсюда: [math]R,r = 4\left({3 \pm 3}\right)\rho[/math] или [math]R = 18,9282...\rho ;\;r = 5,0718...\rho[/math]. Угол a на рисунке равен [math]a = \arcsin \sqrt{\frac{1}{{3 + \sqrt 3}}}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Dotsent, FEBUS |
||
FEBUS |
|
|
Li6-D писал(а): несложно вывести из соображений, которые я дал выше. Из каких соображений? |
||
Вернуться к началу | ||
Dotsent |
|
|
FEBUS писал(а): Li6-D писал(а): несложно вывести из соображений, которые я дал выше. Из каких соображений? Я думаю, что Li6-D выразил расстояние между центрами больших зелёных окружностей (на рис. 2) через R и ро, малых синих - через r и ро, разделил первое на 2R, второе - на 2r, возвёл каждое после этого в квадрат, и сумму(квадратов) приравнял единице |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Dotsent "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Li6-D |
|
|
Соображения по поводу второй формулы.
Предположим, что шары увеличивают свой диаметр на одну и ту же величину [math]x[/math] сохраняя положение центров. Кроме того плоскость перемещается ближе к оси цилиндра на расстояние [math]x[/math] по нормали к плоскости. Все пять тел начнут пересекаться, но чтобы сохранить их касание с цилиндром, также уменьшим радиус цилиндра на [math]x[/math]. Шары с этой плоскостью пересекутся по кругам, радиусы которых равны [math]\sqrt{4Rx},\;\sqrt{4rx}[/math] согласно теореме Пифагора для треугольника OPQ на рисунке 3 (пунктиром выделен увеличенный шар и новое положение плоскости). Рисунок 3 При [math]x = \rho[/math] цилиндр выродится в прямую линию, которая лежит в перемещенной плоскости и касается шаров с радиусами [math]R + \rho ,\;r + \rho[/math]. Следовательно, эта прямая касается и кругов пересечения, радиусы которых определили выше с учетом [math]x = \rho[/math]. Из рисунка 4 видно, что угол между прямой и отрезками, соединяющим центры кругов одного радиуса, можно вычислить по формулам: [math]\sin \alpha = \frac{{\sqrt{4R\rho}}}{R}= \sqrt{\frac{{4\rho}}{R}};\;\sin \beta = \sqrt{\frac{{4\rho}}{r}}[/math]. Рисунок 4 Так как пары одинаковых кругов развернуты друг относительно друга на 90°, то: [math]{\sin ^2}\alpha +{\sin ^2}\beta = 1 \Rightarrow \frac{{4\rho}}{R}+ \frac{{4\rho}}{r}= 1[/math]. ▼
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: FEBUS |
||
FEBUS |
|
|
Li6-D
Собственно рис.4 достаточно. |
||
Вернуться к началу | ||
victor1111 |
|
|
FEBUS писал(а): Имеется 6 тел - два шара радиуса R, два шара радиуса r, длинный цилиндр радиуса ρ и плоскость. Тела попарно касаются. Радиус цилиндра ρ известен. Чему равны радиусы шаров? Является ли плоскость телом? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 14 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Выборка шести человек из 24
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
348 |
03 дек 2018, 15:12 |
|
Построить треугольник по шести лучам
в форуме Геометрия |
2 |
188 |
09 сен 2021, 13:16 |
|
На шести карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6
в форуме Теория вероятностей |
6 |
259 |
15 ноя 2021, 21:21 |
|
Доказать, что экскурсий было не менее шести | 2 |
164 |
11 дек 2019, 01:58 |
|
Размышления по поводу теории шести рукопожатий | 0 |
307 |
28 мар 2017, 00:12 |
|
Центр поверхности второго порядка по шести точкам на ней | 7 |
637 |
09 мар 2020, 12:15 |
|
Теория вероятности: задача про шары и задача про точку
в форуме Теория вероятностей |
6 |
484 |
02 окт 2021, 01:43 |
|
Задача на построение. Корректна ли задача?
в форуме Геометрия |
9 |
663 |
19 июл 2020, 19:17 |
|
Задача
в форуме Теория вероятностей |
1 |
432 |
15 мар 2015, 14:13 |
|
Задача по РЦБ
в форуме Экономика и Финансы |
4 |
311 |
20 мар 2015, 00:17 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |