Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 01 апр 2018, 20:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имеется 6 тел - два шара радиуса R, два шара радиуса r, длинный цилиндр радиуса ρ и плоскость.
Тела попарно касаются. Радиус цилиндра ρ известен.

Чему равны радиусы шаров?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 01 апр 2018, 22:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из взаимного касания четырех сфер и плоскости у меня получилось, что [math]R = (2 + \sqrt 3 )r ={3,7320508...r}[/math].
Насколько понял, цилиндр касается этих сфер и еще плоскости?
Понятно, что есть две плоскости симметрии «конструкции» из сфер.
Выходит что цилиндр «направлен» к этим плоскостям под каким-то углом, а его радиус весьма мал [math]\rho < \frac{1}{4}[/math] :%)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 01 апр 2018, 23:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Насколько понял, цилиндр касается этих сфер и еще плоскости?

Да, конечно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 01 апр 2018, 23:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть одна идейка :wink:. Понятно, что тут внешнее касание.
Будем уменьшать радиус цилиндра, увеличивать на ту же величину радиусы шаров не меняя положение центров, и приближать плоскость к оси цилиндра (параллельное перемещение).
Когда радиус цилиндра уменьшится до нуля, он обратится в прямую.
Линия оси цилиндра и круги пересечения шаров с плоскостью в этот момент будут выглядеть так:
Изображение
Здесь чисто схема, не в масштабе. Относительное положение центров кругов известно - они образуют ромб, диагонали которого равны начальным диаметрам сфер.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
FEBUS
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 02 апр 2018, 22:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот точные построения с помощью живой математики:
Изображение
Рисунок 1

Изображение
Рисунок 2

На первом рисунке дана проекция тел на плоскость касания.
Черные круги – проекции малых сфер, зеленые – больших, красные линии – цилиндр.
На втором рисунке дана проекция тел на плоскость перпендикулярную оси цилиндра, при этом сам цилиндр выглядит как красный круг, касающийся проекций сфер и горизонтальной линии – проекции плоскости.
Соотношение [math]R = \left({2 + \sqrt 3}\right)r[/math] можно найти, рассматривая трапецию, образованную центрами большой и малых сфер и проекциями центров на плоскость касания (точки O,o,O',o').
Формулу [math]\frac{1}{{4\rho}}= \frac{1}{R}+ \frac{1}{r}[/math] несложно вывести из соображений, которые я дал выше.
Отсюда: [math]R,r = 4\left({3 \pm 3}\right)\rho[/math] или [math]R = 18,9282...\rho ;\;r = 5,0718...\rho[/math].
Угол a на рисунке равен [math]a = \arcsin \sqrt{\frac{1}{{3 + \sqrt 3}}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Dotsent, FEBUS
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 03 апр 2018, 01:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
несложно вывести из соображений, которые я дал выше.

Из каких соображений?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 03 апр 2018, 07:09 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 827
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
317 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
Li6-D писал(а):
несложно вывести из соображений, которые я дал выше.

Из каких соображений?


Я думаю, что Li6-D выразил расстояние между центрами больших зелёных окружностей (на рис. 2) через R и ро, малых синих - через r и ро, разделил первое на 2R, второе - на 2r, возвёл каждое после этого в квадрат, и сумму(квадратов) приравнял единице :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Dotsent "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 03 апр 2018, 22:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Соображения по поводу второй формулы.

Предположим, что шары увеличивают свой диаметр на одну и ту же величину [math]x[/math] сохраняя положение центров.
Кроме того плоскость перемещается ближе к оси цилиндра на расстояние [math]x[/math] по нормали к плоскости.
Все пять тел начнут пересекаться, но чтобы сохранить их касание с цилиндром, также уменьшим радиус цилиндра на [math]x[/math].
Шары с этой плоскостью пересекутся по кругам, радиусы которых равны [math]\sqrt{4Rx},\;\sqrt{4rx}[/math] согласно теореме Пифагора для треугольника OPQ на рисунке 3 (пунктиром выделен увеличенный шар и новое положение плоскости).

Изображение
Рисунок 3

При [math]x = \rho[/math] цилиндр выродится в прямую линию, которая лежит в перемещенной плоскости и касается шаров с радиусами [math]R + \rho ,\;r + \rho[/math].
Следовательно, эта прямая касается и кругов пересечения, радиусы которых определили выше с учетом [math]x = \rho[/math].
Из рисунка 4 видно, что угол между прямой и отрезками, соединяющим центры кругов одного радиуса, можно вычислить по формулам: [math]\sin \alpha = \frac{{\sqrt{4R\rho}}}{R}= \sqrt{\frac{{4\rho}}{R}};\;\sin \beta = \sqrt{\frac{{4\rho}}{r}}[/math].

Изображение
Рисунок 4

Так как пары одинаковых кругов развернуты друг относительно друга на 90°, то: [math]{\sin ^2}\alpha +{\sin ^2}\beta = 1 \Rightarrow \frac{{4\rho}}{R}+ \frac{{4\rho}}{r}= 1[/math].

Но идея Dotsentа с расстояниями между проекциями центров одинаковых шаров не требует тригонометрии даже в таком простейшем виде. В задаче самая важная часть - додуматься до того как проходит цилиндр

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
FEBUS
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 04 апр 2018, 03:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D
Собственно рис.4 достаточно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача о шести телах
СообщениеДобавлено: 08 апр 2018, 21:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
Имеется 6 тел - два шара радиуса R, два шара радиуса r, длинный цилиндр радиуса ρ и плоскость.
Тела попарно касаются. Радиус цилиндра ρ известен.

Чему равны радиусы шаров?

Является ли плоскость телом?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Выборка шести человек из 24

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

malenami

1

348

03 дек 2018, 15:12

Построить треугольник по шести лучам

в форуме Геометрия

Glotov1

2

188

09 сен 2021, 13:16

На шести карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6

в форуме Теория вероятностей

TheUgly

6

259

15 ноя 2021, 21:21

Доказать, что экскурсий было не менее шести

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

AGN

2

164

11 дек 2019, 01:58

Размышления по поводу теории шести рукопожатий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ihtio_ejik

0

307

28 мар 2017, 00:12

Центр поверхности второго порядка по шести точкам на ней

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Li6-D

7

637

09 мар 2020, 12:15

Теория вероятности: задача про шары и задача про точку

в форуме Теория вероятностей

AdmiralAnanas

6

484

02 окт 2021, 01:43

Задача на построение. Корректна ли задача?

в форуме Геометрия

Student Studentovich

9

663

19 июл 2020, 19:17

Задача

в форуме Теория вероятностей

Somik

1

432

15 мар 2015, 14:13

Задача по РЦБ

в форуме Экономика и Финансы

viktorcb

4

311

20 мар 2015, 00:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved