Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 24 мар 2018, 23:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскости даны окружности A и B, которые касаются внутренним образом (B внутри A).
С помощью циркуля и линейки постройте еще две окружности C и D , такие что:
- центры всех окружностей лежат на одной прямой;
- окружность С касается окружностей B и D наружным образом, окружность D касается A внутренним образом;
- существует окружность*, которая касается заданных и искомых окружностей.
* эту окружность строить не обязательно.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 00:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Какие дольжно быть радиусов окружности [math]\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}[/math], чтобы можно было построить окружност, которая описанным образом касалась к всем четырем окружностям!" - правилно ли я понял задачу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 09:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan, про окружности [math]A, B[/math] вопрос не стоит - они известны и на рисунке выделены жирными линиями.
Необходимо определить (построить) центры и радиусы окружностей [math]C, D[/math].

Можете еще построить и окружность, которая касается [math]A, B, C, D[/math] (на рисунке изображена красным пунктиром).
Но на мой взгляд эта дополнительная задача немного посложнее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 10:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно написать систему двух квадратных уравнений и одного линейного для определения радиусов трех окружностей при заданных радиусах окружностей А и В.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 10:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Можно написать систему трех квадратных уравнений для определения радиусов трех окружностей при заданных радиусах окружностей А и В.

В данном случае путь алгебры эффективный, но достаточно долгий.
Здесь можно обойтись простыми построениями.

▼ Впрочем,
вот моя система из двух уравнений и с двумя неизвестными:
[math]- a + b + c + d = 0[/math] (1);
[math]\frac{1}{2}{\left({- \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}}\right)^2}= \frac{1}{{{a^2}}}+ \frac{1}{{{b^2}}}+ \frac{1}{{{c^2}}}+ \frac{1}{{{d^2}}}[/math] (2).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 10:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, красивое уравнение для радиусов четырех окружностей с центрами на одной прямой!
Несложный геометрический анализ расположения центров четырех окружностей на диаметральной линии показывает путь к решению задачи. Двигаем точку центра правой окружности [math]D[/math] так, чтобы расстояние между центрами окружности [math]C[/math] и большой окружности [math]O[/math] было равно разности радиусов окружностей с центрами [math]B[/math] и [math]D[/math]: [math]CO=R_B=R_D[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 11:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Маленькая очепятка в самом конце: правильно так [math]CO=R_B-R_D[/math].
P.S. Не то написал выше. Это соотношение выполняется автоматически при любом расположении касающихся четырех окружностей на диаметральной линии...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 11:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Маленькая очепятка в самом конце: правильно так [math]CO=R_B-R_D[/math].
P.S. Не то написал выше. Это соотношение выполняется автоматически при любом расположении касающихся четырех окружностей на диаметральной линии...

Да, тут еще не использовано условие касание всех четырех окружностей с пятой.

▼ Скрытое здесь лучше не смотреть тем, кто предпочитает геометрию, а не алгебру. Это вредно для решения данной задачи
Формулу (2) (см. спойлер выше) можно получить как частный случай следующей:
[math]\frac{1}{{{r^2}}}= \frac{1}{8}{\left({\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}}\right)^2}- \frac{1}{4}\left({\frac{1}{{{a^2}}}+ \frac{1}{{{b^2}}}+ \frac{1}{{{c^2}}}+ \frac{1}{{{d^2}}}}\right)[/math].
Это одно из выражений для т.н. «Поризма Штейнера», где r,a,b,c,d – радиусы окружностей R, A, B, C, D (см. рисунок).
Изображение
Окружность R, проходит через точки внешнего касания цепочки окружностей A,B,C,D, которые в свою очередь касаются внешним и наружным образом двух других окружностей (на рисунке изображены тонкими линиями).
Если бы в цепочке было бы, скажем, шесть окружностей, то формула выглядела бы следующим образом:
[math]\frac{1}{{{r^2}}}= \frac{5}{{216}}{\left({\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}+ \frac{1}{e}+ \frac{1}{f}}\right)^2}- \frac{1}{{12}}\left({\frac{1}{{{a^2}}}+ \frac{1}{{{b^2}}}+ \frac{1}{{{c^2}}}+ \frac{1}{{{d^2}}}+ \frac{1}{{{e^2}}}+ \frac{1}{{{f^2}}}}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 13:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D,
еще не чертил, ща ребенка уложу и приступлю. Насколько я понял инверсию использовать нельзя? Ведь на первый взгляд в этом случае задача тривиальна, если снова центр не убежит в никуда)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 13:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race,
При обосновании построения инверсию использовать можно. По крайней мере я так и строил.
Но другие решения тоже приветствуются

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 1 из 5 [ Сообщений: 43 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача с пятью окружностями

в форуме Геометрия

zakharova-forum

6

426

25 авг 2020, 06:31

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей

в форуме Геометрия

poli

2

878

25 янв 2018, 19:10

Задачи с окружностями

в форуме Геометрия

ksenyazimina

6

976

22 фев 2015, 12:11

Задачи с окружностями, трапециями, треугольниками

в форуме Геометрия

Someone0310

4

975

16 окт 2014, 13:57

Объем фигуры образованной окружностями

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Buratino

24

796

03 апр 2022, 23:46

Расчет площади фигуры образованных окружностями

в форуме Интегральное исчисление

Denwork

0

371

06 апр 2014, 22:21

Почему параллельные отрезки между двумя окружностями равны?

в форуме Геометрия

Palehou

4

268

25 мар 2021, 05:07

Система уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

solarsolnce

2

422

16 апр 2018, 08:28

Ровно один автоморфизм с четырьмя элементами в универсуме

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

K1b0rg

3

253

10 фев 2021, 16:07

Решить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

MARINA1997

2

408

11 янв 2017, 13:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved