Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 30 мар 2018, 22:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D,
Ну алгебраически это не сложно:

[math]A=\frac{ B(B+D) }{ B-D }[/math]

[math]C=\frac{ B(A-B) }{ A+B }[/math]

Так же построить А не составит проблемы

https://ibb.co/id7kkS к примеру по аналогии, через подобие треугольников.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 30 мар 2018, 22:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race, радиус A в первой формуле не должен зависеть от замены между собой D на B.
Алгебра действительно не сложная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 30 мар 2018, 22:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D,
извините пожалуйста, описался:

[math]A=\frac{ 1 }{ 2 }[(B+D) \pm (B-D)][/math]

Но такое мне тоже не нравится. Правда теперь ошибку не могу найти, попробую выкроить время и с нуля вывести формулы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 01:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Расстояние Н от точки касания окружностей А и В до точки касания окружностей С и D это среднее гармоническое диаметров d и D окружностей А и В.

[math]\frac{ 1 }{H }[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math][math]\left( \frac{ 1 }{d }+\frac{ 1 }{D } \right)[/math]

Отрезок [math]H = \frac{2dD}{d+D}[/math] строится элементарно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 09:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS,
Li6-D писал(а):
Расстояние от точки I до прямых la и lb равно [math]\frac{{r{i^2}}}{2a}[/math] и [math]\frac{{r{i^2}}}{2b}[/math] соответственно, поэтому точка касания C' и D' удалена от центра инверсии на расстоянии [math]\frac{{r{i^2}}}{2}\left({\frac{1}{2a}+ \frac{1}{2b}}\right)[/math], а прообраз – точка касания C и D удалена от I соответственно на [math]\frac{{r{i^2}}}{{\frac{{r{i^2}}}{2}\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}}} \right)}} = \frac{{2\left( {2a} \right) \cdot \left( {2b} \right)}}{{2a + 2b}}[/math] (среднее гармоническое диаметров окружностей).
Следовательно, точки касания окружностей A,B, C, D образуют гармоническую четверку точек.
Что позволяет легко находить неизвестную точку касания C и D по трем другим известным точкам касания.



Касательно последней задачи.

[math]a=b+c+d[/math]
[math]\frac{ a }{ b }=\frac{ d }{ c } \Rightarrow c=\frac{ db }{ a }[/math]
[math]a=b+d+\frac{ bd }{ a }[/math]
[math]a^{2}-(b+d)-bd=0[/math]
[math]a=\frac{ (b+d) \pm \sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} } }{2 }[/math]
Не будем рассматривать отрезки отрицательной длины, примем ответ:
[math]a=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }+(b+d)][/math]
аналогично для с:
[math]c=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }-(b+d)][/math]
где [math]a,b,d,c[/math] - соответственно диаметры наших окружностей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 11:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race
Не понял, в чем пафос вашего замечания.
Я написал, как элементарно построить Н. Без излишних премудростей.
Что-то не понятно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 11:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Почему центры не инвертируются я не знаю.

При инверсии центр не переходит в центр.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 13:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
Race
Не понял, в чем пафос вашего замечания.
Я написал, как элементарно построить Н. Без излишних премудростей.
Что-то не понятно?


В чем пафос? В данной теме тоже самое уже писал Li6-D, я про это и упомянул, не более.
Построение действительно элементарно, могу привести свое с другого форума:
https://ibb.co/doiWaS
правда там была несколько другая задача, потому обозначение иное, но разобраться думаю не сложно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 13:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Касательно последней задачи.

[math]a=b+c+d[/math]
[math]\frac{ a }{ b }=\frac{ d }{ c } \Rightarrow c=\frac{ db }{ a }[/math]
[math]a=b+d+\frac{ bd }{ a }[/math]
[math]a^{2}-(b+d)-bd=0[/math]
[math]a=\frac{ (b+d) \pm \sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} } }{2 }[/math]
Не будем рассматривать отрезки отрицательной длины, примем ответ:
[math]a=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }+(b+d)][/math]
аналогично для с:
[math]c=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }-(b+d)][/math]
где [math]a,b,d,c[/math] - соответственно диаметры наших окружностей.

Все правильно. Правда, мой подход был немного другим и через a,b,c,d… обозначал радиусы кругов, но это не меняет дело.
[math]a+(-c)=a+c'=b+d[/math] (1)
[math]ac' = - bd[/math] (2)
Здесь введена [math]c' = - c[/math], чтобы можно было составить квадратное уравнение по теореме Виета относительно неизвестной [math]x[/math],
корни которого равны [math]a,\;c'[/math]: [math]{x^2}- (b + d)x - bd = 0[/math].
Решаем его. Положительный корень соответствует [math]a[/math], отрицательный - [math]c' =-c[/math].

Есть еще одна забавная формула (не моя) для вычисления расстояний между центрами кругов любой пары не касающихся кругов в такой конфигурации из шести кругов:
Изображение
Рисунок 5

Ну и до кучи еще одна формула для радиуса окружности E в нашей теме: [math]e = \frac{2ac}{a - c}= \frac{2bd}{b+d}[/math].

То есть радиус e равен среднему гармоническому радиусов b и d!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 31 мар 2018, 18:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот еще одно интересное обобщение для рисунка 5:

Средние гармонические радиусов пар не касающихся окружностей (A и C, B и D, E и F) равны одной и той величине, причем если одна из окружностей вложена в другую (C в A), то радиус наружной окружности берем с отрицательным знаком.
В остальных случаях радиусы положительные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 4 из 5 [ Сообщений: 43 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача с пятью окружностями

в форуме Геометрия

zakharova-forum

6

426

25 авг 2020, 06:31

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей

в форуме Геометрия

poli

2

878

25 янв 2018, 19:10

Задачи с окружностями

в форуме Геометрия

ksenyazimina

6

977

22 фев 2015, 12:11

Задачи с окружностями, трапециями, треугольниками

в форуме Геометрия

Someone0310

4

975

16 окт 2014, 13:57

Объем фигуры образованной окружностями

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Buratino

24

796

03 апр 2022, 23:46

Расчет площади фигуры образованных окружностями

в форуме Интегральное исчисление

Denwork

0

371

06 апр 2014, 22:21

Почему параллельные отрезки между двумя окружностями равны?

в форуме Геометрия

Palehou

4

268

25 мар 2021, 05:07

Система уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

solarsolnce

2

422

16 апр 2018, 08:28

Ровно один автоморфизм с четырьмя элементами в универсуме

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

K1b0rg

3

253

10 фев 2021, 16:07

Решить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

MARINA1997

2

408

11 янв 2017, 13:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved