Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 4 из 5 |
[ Сообщений: 43 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Race |
|
|
Ну алгебраически это не сложно: [math]A=\frac{ B(B+D) }{ B-D }[/math] [math]C=\frac{ B(A-B) }{ A+B }[/math] Так же построить А не составит проблемы https://ibb.co/id7kkS к примеру по аналогии, через подобие треугольников. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Race, радиус A в первой формуле не должен зависеть от замены между собой D на B.
Алгебра действительно не сложная. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Race |
||
Race |
|
|
Li6-D,
извините пожалуйста, описался: [math]A=\frac{ 1 }{ 2 }[(B+D) \pm (B-D)][/math] Но такое мне тоже не нравится. Правда теперь ошибку не могу найти, попробую выкроить время и с нуля вывести формулы. |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Расстояние Н от точки касания окружностей А и В до точки касания окружностей С и D это среднее гармоническое диаметров d и D окружностей А и В.
[math]\frac{ 1 }{H }[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math][math]\left( \frac{ 1 }{d }+\frac{ 1 }{D } \right)[/math] Отрезок [math]H = \frac{2dD}{d+D}[/math] строится элементарно. |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
FEBUS,
Li6-D писал(а): Расстояние от точки I до прямых la и lb равно [math]\frac{{r{i^2}}}{2a}[/math] и [math]\frac{{r{i^2}}}{2b}[/math] соответственно, поэтому точка касания C' и D' удалена от центра инверсии на расстоянии [math]\frac{{r{i^2}}}{2}\left({\frac{1}{2a}+ \frac{1}{2b}}\right)[/math], а прообраз – точка касания C и D удалена от I соответственно на [math]\frac{{r{i^2}}}{{\frac{{r{i^2}}}{2}\left( {\frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}}} \right)}} = \frac{{2\left( {2a} \right) \cdot \left( {2b} \right)}}{{2a + 2b}}[/math] (среднее гармоническое диаметров окружностей). Следовательно, точки касания окружностей A,B, C, D образуют гармоническую четверку точек. Что позволяет легко находить неизвестную точку касания C и D по трем другим известным точкам касания. Касательно последней задачи. [math]a=b+c+d[/math] [math]\frac{ a }{ b }=\frac{ d }{ c } \Rightarrow c=\frac{ db }{ a }[/math] [math]a=b+d+\frac{ bd }{ a }[/math] [math]a^{2}-(b+d)-bd=0[/math] [math]a=\frac{ (b+d) \pm \sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} } }{2 }[/math] Не будем рассматривать отрезки отрицательной длины, примем ответ: [math]a=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }+(b+d)][/math] аналогично для с: [math]c=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }-(b+d)][/math] где [math]a,b,d,c[/math] - соответственно диаметры наших окружностей. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
FEBUS |
|
|
Race
Не понял, в чем пафос вашего замечания. Я написал, как элементарно построить Н. Без излишних премудростей. Что-то не понятно? |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Race писал(а): Почему центры не инвертируются я не знаю. При инверсии центр не переходит в центр. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали: Race |
||
Race |
|
|
FEBUS писал(а): Race Не понял, в чем пафос вашего замечания. Я написал, как элементарно построить Н. Без излишних премудростей. Что-то не понятно? В чем пафос? В данной теме тоже самое уже писал Li6-D, я про это и упомянул, не более. Построение действительно элементарно, могу привести свое с другого форума: https://ibb.co/doiWaS правда там была несколько другая задача, потому обозначение иное, но разобраться думаю не сложно. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Race писал(а): Касательно последней задачи. [math]a=b+c+d[/math] [math]\frac{ a }{ b }=\frac{ d }{ c } \Rightarrow c=\frac{ db }{ a }[/math] [math]a=b+d+\frac{ bd }{ a }[/math] [math]a^{2}-(b+d)-bd=0[/math] [math]a=\frac{ (b+d) \pm \sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} } }{2 }[/math] Не будем рассматривать отрезки отрицательной длины, примем ответ: [math]a=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }+(b+d)][/math] аналогично для с: [math]c=\frac{ 1 }{ 2 }[\sqrt{b^{2}+6bd+d^{2} }-(b+d)][/math] где [math]a,b,d,c[/math] - соответственно диаметры наших окружностей. Все правильно. Правда, мой подход был немного другим и через a,b,c,d… обозначал радиусы кругов, но это не меняет дело. [math]a+(-c)=a+c'=b+d[/math] (1) [math]ac' = - bd[/math] (2) Здесь введена [math]c' = - c[/math], чтобы можно было составить квадратное уравнение по теореме Виета относительно неизвестной [math]x[/math], корни которого равны [math]a,\;c'[/math]: [math]{x^2}- (b + d)x - bd = 0[/math]. Решаем его. Положительный корень соответствует [math]a[/math], отрицательный - [math]c' =-c[/math]. Есть еще одна забавная формула (не моя) для вычисления расстояний между центрами кругов любой пары не касающихся кругов в такой конфигурации из шести кругов: Рисунок 5 Ну и до кучи еще одна формула для радиуса окружности E в нашей теме: [math]e = \frac{2ac}{a - c}= \frac{2bd}{b+d}[/math]. То есть радиус e равен среднему гармоническому радиусов b и d! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Race |
||
Li6-D |
|
|
Вот еще одно интересное обобщение для рисунка 5:
Средние гармонические радиусов пар не касающихся окружностей (A и C, B и D, E и F) равны одной и той величине, причем если одна из окружностей вложена в другую (C в A), то радиус наружной окружности берем с отрицательным знаком. В остальных случаях радиусы положительные. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 След. | [ Сообщений: 43 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача с пятью окружностями
в форуме Геометрия |
6 |
426 |
25 авг 2020, 06:31 |
|
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей
в форуме Геометрия |
2 |
878 |
25 янв 2018, 19:10 |
|
Задачи с окружностями
в форуме Геометрия |
6 |
977 |
22 фев 2015, 12:11 |
|
Задачи с окружностями, трапециями, треугольниками
в форуме Геометрия |
4 |
975 |
16 окт 2014, 13:57 |
|
Объем фигуры образованной окружностями | 24 |
796 |
03 апр 2022, 23:46 |
|
Расчет площади фигуры образованных окружностями
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
371 |
06 апр 2014, 22:21 |
|
Почему параллельные отрезки между двумя окружностями равны?
в форуме Геометрия |
4 |
268 |
25 мар 2021, 05:07 |
|
Система уравнений с четырьмя неизвестными
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
422 |
16 апр 2018, 08:28 |
|
Ровно один автоморфизм с четырьмя элементами в универсуме | 3 |
253 |
10 фев 2021, 16:07 |
|
Решить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
408 |
11 янв 2017, 13:03 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |