Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 01 апр 2018, 10:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выходя за рамки темы

Дана конфигурация из шести окружностей, каждая из которых касается ровно четырех других (см. рисунок 6).

Изображение
Рисунок 6

Примем, что кривизна центральной окружности, которая испытывает только внешнее касание (C на рисунке) имеет знак «минус», кривизна же остальных окружностей положительна.
Выберем любую пару не касающихся окружностей конфигурации (у нас есть три возможности выбора), пусть их кривизна равна [math]K1[/math] и [math]K2,\;K1 \geqslant K2[/math].
Докажите, что через четыре точки касания остальных окружностей за исключением выбранных можно провести окружность или прямую, кривизна которой равна [math]K = \frac{{\sqrt 2}}{4}\left({K1 - K2}\right)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 02 апр 2018, 23:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предлагается еще задачка близко к теме:
Даны радиусы кругов B,C,D (см. рисунок 6).
Найти формулу для радиусов или построить с помощью циркуля и линейки остальные круги A,E,F.
Мое решение мне не нравится. Все что для него было нужно, уже было в теме.
Может, кто предложит более изящное решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с четырьмя окружностями с центрами на прямой
СообщениеДобавлено: 19 апр 2018, 22:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть нам заданы радиусы b, c, d окружностей B, C, D.
Необходимо с помощью циркуля и линейки построить конфигурацию окружностей A, B, C, D, E, F каждая из которых касается ровно четырех других (см. рисунок 6).
Для начала построим две окружности B и D с расстоянием между их центрами равным [math]\sqrt{{b^2}+6bd+{d^2}}[/math].
После чего несложно найти центр окружности C известного радиуса с, касающейся окружностей B и D (чтобы не загромождать чертеж соответствующие построения на рисунке 7 скрыты).
Далее нам потребуется умение строить внешние и внутренние центры подобия двух известных кругов (заметим, что центры кругов и центры их подобия образуют гармоническую четверку точек).
Центры окружностей обозначим также как сами окружности: A, B и т. д.
Теперь пошагово один из способов построения без обоснования и рассмотрения частных случаев равенства двух или трех исходных радиусов окружностей:
1. Построим внешние центры подобия [math]{P_{bd}},\;{P_{bc}},\;{P_{dc}}[/math] для пар окружностей [math]B,\;D[/math] и [math]B,\;C[/math] и [math]D,\;C[/math] соответственно.
Оказывается, что построенные центры будет лежать на одной прямой.
Проведем эту прямую.

Изображение

Рисунок 7

2. Найдем центр окружности A на пересечении прямых, проходящих через точки [math]B,\;{P_{dc}}[/math] и [math]D,\;{P_{bc}}[/math].
Возможны два варианта: окружность A касается B и D внутренним образом (как на рисунке 7) или внешним образом.
Если точка [math]{P_{dc}}\;({P_{bc}})[/math] лежит внутри отрезка [math]AB\;(AD)[/math], то имеем внутренний способ касания, в противном случае касание внешнее.
В зависимости от способа касания проводим окружность A.
Заметим, центры подобия окружностей A и B совпадают с их точкой касания и точкой [math]{P_{dc}}[/math].
Вместе с центрами A и B имеем новую гармоническую четверку.
3. Найдем внутренний центр [math]{P'_{bd}}[/math] подобия пары окружностей B, D и через [math]{P'_{bd}}[/math] проведем перпендикуляр к прямой [math]{P_{bd}},\;{P_{bc}},\;{P_{dc}}[/math].
Этот перпендикуляр [math](EF)[/math] будет проходить через центры окружностей E и F.
4. Через точку [math]{P_{bd}}[/math] проведем касательную к окружности C и построим окружность [math]{R_{bd}}[/math] c центром в [math]{P_{bd}}[/math] и радиусом, равным длине касательной
(из сообщения выше мы уже знаем, что он численно равен [math]\frac{{2\sqrt 2 bd}}{{b-d}}[/math]).
Пусть [math]{P_{ae}},\;{P_{af}}[/math] - точки пересечения окружностей [math]{R_{bd}}[/math] и A.
Они же будут точками касания окружности A c E и F, а центры последних найдутся на пересечении прямых [math]\left({A{P_{ae}}}\right),\;\left({A{P_{af}}}\right)[/math] с [math](EF)[/math].
Через точки касания с A проводим окружности E и F.
Построение закончено.

При желании можно построить окружность, проходящую через точки касания B, E, D, F ([math]{R_{ac}}[/math] на рисунке 6).
Ее центр [math]P{'_{ac}}[/math] находится в центре внутреннего подобия окружностей A и C, а также на пересечении прямых [math](AC)[/math] и [math]({P_{bc}}{P_{dc}})[/math], радиус равен длине касательной проведенной через точку [math]P{'_{ac}}[/math] к окружности B (D, E или F).
Опять же точки [math]A,{P'_{ac}},C,{P'_{bd}}[/math] образуют гармоническую четверку.

Наконец, формула для определения кривизны окружностей E,F если известна кривизна B, C, D
(формулы в задачах касания, как правило, красивее с кривизной, а не с радиусами):
[math]{e^{-1}},{f^{-1}}= \frac{{{b^{-1}}+{d^{- 1}}}}{2}\pm\sqrt{{b^{-1}}{d^{-1}}-{a^{-1}}{c^{-1}}}[/math], где [math]{a^{-1}}={c^{-1}}-{b^{-1}}-{d^{-1}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  Страница 5 из 5 [ Сообщений: 43 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача с пятью окружностями

в форуме Геометрия

zakharova-forum

6

426

25 авг 2020, 06:31

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей

в форуме Геометрия

poli

2

878

25 янв 2018, 19:10

Задачи с окружностями

в форуме Геометрия

ksenyazimina

6

977

22 фев 2015, 12:11

Задачи с окружностями, трапециями, треугольниками

в форуме Геометрия

Someone0310

4

975

16 окт 2014, 13:57

Объем фигуры образованной окружностями

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Buratino

24

796

03 апр 2022, 23:46

Расчет площади фигуры образованных окружностями

в форуме Интегральное исчисление

Denwork

0

371

06 апр 2014, 22:21

Почему параллельные отрезки между двумя окружностями равны?

в форуме Геометрия

Palehou

4

268

25 мар 2021, 05:07

Система уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

solarsolnce

2

422

16 апр 2018, 08:28

Ровно один автоморфизм с четырьмя элементами в универсуме

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

K1b0rg

3

253

10 фев 2021, 16:07

Решить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

MARINA1997

2

408

11 янв 2017, 13:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved