Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Доказать положительность решения задачи Коши http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=56011 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Human [ 09 окт 2017, 20:51 ] |
Заголовок сообщения: | Доказать положительность решения задачи Коши |
Доказать, что функция, удовлетворяющая задаче Коши [math]\left\{\!\begin{aligned} & y''-x^2y=0,\ x\in\mathbb{R} \\ & y(0)=1,\ y'(0)=0 \end{aligned}\right.[/math] положительна на [math]\mathbb{R}[/math]. |
Автор: | Student Studentovich [ 10 окт 2017, 22:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать положительность решения задачи Коши |
Отметим сначала, что [math]y(x)[/math] будет функцией четной, т.к. уравнение и начальные условия инвариантны относительно [math]x\to-x[/math] . Так, что рассмотрим только [math]x \geqslant 0[/math]. В пределе [math]x\to 0[/math] функция [math]y(x)[/math] выглядит как прямая, проходящая через [math]y=1[/math] и параллельная [math]Ox.[/math] Следовательно, функция пройдет через точку [math](dx,y(0+dx)) \approx (dx,1)[/math]. Обозначим для удобства [math]x_0=0+dx=dx.[/math] Уравнение запишем для точки [math]x_0[/math] в виде [math]\frac{y(x_0+dx)-2y(x_0)+y(x_0-dx)}{(dx)^2}=x_0^2y(x_0)[/math] или [math]y(x_0+dx)=x_0^2y(x_0)(dx)^2+2y(x_0)-y(x_0-dx),[/math] [math]y(x_0+dx)=x_0^2y(x_0)(dx)^2+2 \cdot y(x_0)-y(0),[/math] [math]y(x_0+dx) \approx x_0^2 \cdot 1 \cdot (dx)^2+2 \cdot 1-1,[/math] [math]y(x_0+dx) \approx x_0^2 \cdot (dx)^2+1>1.[/math] Важно, что все приближения могут быть выполнены с любой наперед заданной точностью. Таким образом, начиная с [math]y(0)=1[/math] возрастает и отрицательным стало быть не может. Более того [math]y(x) \geqslant 1[/math] |
Автор: | Student Studentovich [ 14 окт 2017, 19:02 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать положительность решения задачи Коши |
Можно было наверно, еще из физических соображений. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |