Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать положительность решения задачи Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=56011
Страница 1 из 1

Автор:  Human [ 09 окт 2017, 20:51 ]
Заголовок сообщения:  Доказать положительность решения задачи Коши

Доказать, что функция, удовлетворяющая задаче Коши

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& y''-x^2y=0,\ x\in\mathbb{R} \\
& y(0)=1,\ y'(0)=0
\end{aligned}\right.[/math]


положительна на [math]\mathbb{R}[/math].

Автор:  Student Studentovich [ 10 окт 2017, 22:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать положительность решения задачи Коши

Отметим сначала, что [math]y(x)[/math] будет функцией четной, т.к. уравнение и начальные условия инвариантны относительно [math]x\to-x[/math] :oops: . Так, что рассмотрим только [math]x \geqslant 0[/math].

В пределе [math]x\to 0[/math] функция [math]y(x)[/math] выглядит как прямая, проходящая через [math]y=1[/math] и параллельная [math]Ox.[/math] Следовательно, функция пройдет через точку [math](dx,y(0+dx)) \approx (dx,1)[/math]. Обозначим для удобства [math]x_0=0+dx=dx.[/math]

Уравнение запишем для точки [math]x_0[/math] в виде

[math]\frac{y(x_0+dx)-2y(x_0)+y(x_0-dx)}{(dx)^2}=x_0^2y(x_0)[/math]
или
[math]y(x_0+dx)=x_0^2y(x_0)(dx)^2+2y(x_0)-y(x_0-dx),[/math]

[math]y(x_0+dx)=x_0^2y(x_0)(dx)^2+2 \cdot y(x_0)-y(0),[/math]

[math]y(x_0+dx) \approx x_0^2 \cdot 1 \cdot (dx)^2+2 \cdot 1-1,[/math]

[math]y(x_0+dx) \approx x_0^2 \cdot (dx)^2+1>1.[/math]

Важно, что все приближения могут быть выполнены с любой наперед заданной точностью.
Таким образом, начиная с [math]y(0)=1[/math] возрастает и отрицательным стало быть не может. Более того [math]y(x) \geqslant 1[/math]

Автор:  Student Studentovich [ 14 окт 2017, 19:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать положительность решения задачи Коши

Можно было наверно, еще из физических соображений.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/