Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать положительность решения задачи Коши
СообщениеДобавлено: 09 окт 2017, 21:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3994
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1776 раз в 1480 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать, что функция, удовлетворяющая задаче Коши

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& y''-x^2y=0,\ x\in\mathbb{R} \\
& y(0)=1,\ y'(0)=0
\end{aligned}\right.[/math]


положительна на [math]\mathbb{R}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать положительность решения задачи Коши
СообщениеДобавлено: 10 окт 2017, 23:15 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 785
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
123 раз в 117 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Отметим сначала, что [math]y(x)[/math] будет функцией четной, т.к. уравнение и начальные условия инвариантны относительно [math]x\to-x[/math] :oops: . Так, что рассмотрим только [math]x \geqslant 0[/math].

В пределе [math]x\to 0[/math] функция [math]y(x)[/math] выглядит как прямая, проходящая через [math]y=1[/math] и параллельная [math]Ox.[/math] Следовательно, функция пройдет через точку [math](dx,y(0+dx)) \approx (dx,1)[/math]. Обозначим для удобства [math]x_0=0+dx=dx.[/math]

Уравнение запишем для точки [math]x_0[/math] в виде

[math]\frac{y(x_0+dx)-2y(x_0)+y(x_0-dx)}{(dx)^2}=x_0^2y(x_0)[/math]
или
[math]y(x_0+dx)=x_0^2y(x_0)(dx)^2+2y(x_0)-y(x_0-dx),[/math]

[math]y(x_0+dx)=x_0^2y(x_0)(dx)^2+2 \cdot y(x_0)-y(0),[/math]

[math]y(x_0+dx) \approx x_0^2 \cdot 1 \cdot (dx)^2+2 \cdot 1-1,[/math]

[math]y(x_0+dx) \approx x_0^2 \cdot (dx)^2+1>1.[/math]

Важно, что все приближения могут быть выполнены с любой наперед заданной точностью.
Таким образом, начиная с [math]y(0)=1[/math] возрастает и отрицательным стало быть не может. Более того [math]y(x) \geqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать положительность решения задачи Коши
СообщениеДобавлено: 14 окт 2017, 20:02 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 785
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
123 раз в 117 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно было наверно, еще из физических соображений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти значение решения задачи Коши в указанной точке

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

AleksandrR

8

164

30 июн 2016, 14:58

Найти значение решения задачи Коши в указанной точке 2

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

AleksandrR

3

107

03 июл 2016, 21:48

М-функция для решения задачи Коши методом ломаных Эйлера

в форуме MATLAB

MAKSUS_87

0

466

12 апр 2014, 20:47

Задачи коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

bart666

4

148

24 окт 2013, 17:32

Доказать по Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

elizagosteva

1

169

03 дек 2013, 20:33

Доказать по Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

gamer_surgut

1

168

17 ноя 2013, 21:19

Решить 2 задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

oksana

2

200

30 дек 2011, 15:44

Решение задачи Коши

в форуме Дифференциальное исчисление

Professor_Genki

4

157

12 сен 2014, 12:29

Решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Norelen

3

205

06 фев 2016, 13:14

Решение задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

AlexGFX

4

304

03 июн 2013, 18:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved