Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача из "Кванта"
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=55421
Страница 1 из 1

Автор:  wrobel [ 12 авг 2017, 22:23 ]
Заголовок сообщения:  Задача из "Кванта"

Изображение

Тяжелый ящик перемещают с помощью двух тракторов, движущихся со скоростями [math]\boldsymbol v_1[/math] и [math]\boldsymbol v_2[/math] составляющими угол [math]\alpha[/math]. Как направлена и чему равна скорость ящика в тот момент, когда векторы [math]\boldsymbol v_1[/math] и [math]\boldsymbol v_2[/math] параллельны канатам?

(я бы предложил не связываться с углом между векторами, а найти коэффициенты разложения скорости ящика по базису [math]\boldsymbol v_1[/math] и [math]\boldsymbol v_2[/math] )

Автор:  radix [ 16 авг 2017, 01:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача из "Кванта"

v1 и v2 не составляющие скорости ящика. В этом легко убедиться, если представить, что тросы параллельны: в этом случае скорость ящика не будет равна сумме скоростей v1 и v2.

Если скорость ящика спроецировать ортогонально на каждый из тросов, то проекции будут равны v1 и v2.
Далее эту задачу решаем геометрически. Откладываем от одной точки вектора v1 и v2 и вектор скорости ящика. Описываем около этой конструкции окружность (то, что это можно сделать также доказывается геометрически). Вектор скорости ящика будет одной диагональю четырёхугольника. Другую диагональ находим по теореме косинусов. Затем искомый вектор скорости (диаметр окружности) находим по теореме синусов.
Изображение
Изображение

Автор:  wrobel [ 16 авг 2017, 09:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача из "Кванта"

Все верно. Но это не все. Осталось самое главное обосновать решение: откуда взялись ортогональные проекции скорости v на канаты? А почему не проекции под углом 60 градусов

Автор:  radix [ 16 авг 2017, 11:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача из "Кванта"

Это следует из предположения о нерастяжимости канатов. Для нерастяжимых нитей ортогональные проекции векторов скоростей концов нити (впрочем, как и любых других точек нити) на направление нити будет одинаковым по всей длине нити.

В данном случае v1 - это скорость одного конца каната, а v - скорость другого конца этого же каната. Делаем ортогональные проекции этих векторов на линию каната, эти проекции равны вследствие нерастяжимости каната. Аналогично для второго каната.

Автор:  wrobel [ 16 авг 2017, 12:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача из "Кванта"

Вот вот. В "Кванте" приведено решение этой задачи, и ни слова не говорится про нерастяжимость, как и в условии, впрочем. Гипотеза о нерастяжимости здесь ключевая, но утверждение, которое Вы сформулировали всеравно надо выводить. Выводится оно, например, так.

Теорема. Пусть A, B -- две произвольные точки твердого тела. Тогда как бы твердое тело не двигалось, проекции скоростей [math]\boldsymbol v_A,\boldsymbol v_B[/math] на прямую AB равны.

Доказательство. Пусть [math]\boldsymbol e[/math] -- единичный вектор прямой AB.Домножим скалярно на [math]\boldsymbol e[/math] левую и правую часть формулы Эйлера: [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol {BA}][/math]. ЧТД

Автор:  radix [ 16 авг 2017, 13:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача из "Кванта"

Это утверждение обычно выводят от противного: если бы проекции скоростей концов натянутой нити на направление нити не были бы равны, то расстояние между концами натянутой нити изменялось бы, что противоречит утверждению о её нерастяжимости.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/