Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегральное неравенство
СообщениеДобавлено: 09 июл 2017, 13:23 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
функция [math]f(x)\in C(\mathbb{R})[/math] положительна и периодична с периодом 1. Доказать, что
[math]\int_0^1\frac{f(x+a)}{f(x)}dx\ge 1[/math]
при любых [math]a\in\mathbb{R}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральное неравенство
СообщениеДобавлено: 12 июл 2017, 19:13 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а задачка-то в одну строчку решается :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральное неравенство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 13:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В одну строчку не придумал, но есть такая идея. Пусть сначала [math]a=\frac m n[/math] - рационально (можно считать, что [math]m[/math] положительно). Тогда

[math]\int\limits_0^m\frac{f(x+a)}{f(x)}\,dx=\int\limits_0^{\frac m n}\left(\frac{f(x+m\colon n)}{f(x)}+\frac{f(x+2m\colon n)}{f(x+m\colon n)}+\frac{f(x+3m\colon n)}{f(x+2m\colon n)}+\ldots+\frac{f(x+m)}{f(x+(n-1)m\colon n)}\right)\,dx[/math]

В силу периодичности [math]f(x+m)=f(x)[/math]. Применяя тогда неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получим:

[math]\int\limits_0^m\frac{f(x+a)}{f(x)}\,dx\geqslant\int\limits_0^{\frac m n}n\,dx=m[/math]

и значит, опять же в силу периодичности [math]f[/math]:

[math]\int\limits_0^1\frac{f(x+a)}{f(x)}\,dx\geqslant1[/math]

Для иррациональных [math]a[/math] подбираем последовательность рациональных [math]a_n\to a[/math] и переходим к пределу (переход к пределу под знаком интеграла обоснован, поскольку функция [math]g(x,a)=\frac{f(x+a)}{f(x)}[/math] непрерывна на [math]\mathbb{R}^2[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральное неравенство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 14:21 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
неравенство Йенсена:

[math]\ln\int_0^1\frac{f(x+a)}{f(x)}dx\ge \int_0^1(\ln f(x+a)-\ln f(x))dx=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Интегральное неравенство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 14:30 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
***

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегральное (7)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

376

21 сен 2012, 07:53

Интегральное (10)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

153

23 сен 2012, 23:03

Интегральное (11)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

4

369

28 сен 2012, 19:15

Интегральное (12)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

1

167

28 сен 2012, 19:24

Интегральное (12)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

3

242

06 окт 2012, 06:36

Интегральное

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

183

29 ноя 2012, 07:57

Интегральное (13)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

1

142

07 окт 2012, 15:58

Интегральное

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

247

13 ноя 2012, 06:04

Интегральное (16)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

1

175

30 окт 2012, 19:56

Интегральное (15)

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

1

266

25 окт 2012, 07:25


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved