Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 16:15 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На математических олимпиадах довольно часто встречаются уравнения в целых числах, значительно реже - уравнения в простых числах, а вот уравнения в простых близнецах лично мне пока не попадались.
Ну что ж, всё когда-то бывает впервые. Давайте придумаем побольше удивительных уравнений, переменными в которых служат простые числа-близнецы, и опубликуем их в данной теме.
Итак, первое в истории человечества уравнение в простых близнецах:

Решить уравнение [math]p^q+pq-p-q=2q^p[/math]
, где [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые близнецы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 16:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первое в истории решение:
p = 3; q = 5
А вы какой-нибудь метод решения таких уравнений предложить можете? Кроме очевидного и, скорее всего единственного: берём таблицу чисел-близнецов и проверяем? Вряд ли составитель уравнения продвинулся по этой таблице дальше, чем на 3-4 шага.


Последний раз редактировалось Booker48 05 июл 2017, 16:39, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 16:38 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Бесконечность множества пар простых близнецов ещё не опровергнута. Как Вы собираетесь проверять бесконечную (возможно) таблицу?
И где Ваше доказательство единственности решения моего уравнения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 16:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А у вас есть док-во, что решение не единственно? Или ваше дело только задачи сочинять?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 16:43 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
А у вас есть док-во, что решение не единственно? Или ваше дело только задачи сочинять?

Есть, оно нетрудное, на уровне хорошего маткружка.
Позже опубликую, дам форумчанам подумать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 16:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И метод решения - именно в близнецах - тоже есть? На уровне ОЧЕНЬ хорошего маткружка? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 19:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как мне кажется, можно использовать тот факт, что все простые числа -близнецы, кроме первой пары:[math]3,5[/math], можно представить в виде [math]6n\pm1,n\in\mathbb N[/math]. Сделав замену переменных, нужно рассмотреть 2 случая: [math]p>q[/math] и [math]q>p[/math], в первом случае исходное уравнение можно привести к виду: [math](a+2)^a=2a^{a+2}[/math], которое очевидно не имеет решений в целых числах. Это не решение, а просто мысли вслух, возможно ошибочные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 20:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во втором случае уравнение приводится к виду: [math]a^{a+2}+a^2-2=2(a+2)^a[/math], и имеет одно решение при [math]a=6n-1=3[/math], при этом [math]n\notin \mathbb N[/math], что противоречит условию [math]\Longrightarrow[/math] не существует решений исходного уравнения для простых близнецов отличных от пары [math]3,5[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 342
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
К сожалению, при таком решении никак не используется простота неизвестных. Фактически, условие просто содержит дополнительную информацию, что p = q + 2 или q = p + 2. Возможно, у уважаемого ТС есть решение, которое использует и простоту, но я до такого не додумался. :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 21:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
К сожалению, при таком решении никак не используется простота неизвестных.


Как это не используется? Всю эту простоту мы используем запихивая её в множество [math]6n\pm1[/math], без такого использования простоты и решения не получится )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
Xenia1996
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Множество простых чисел и пар простых чисел-близнецов бескон

в форуме Размышления по поводу и без

korolchukvasily

2

257

28 июн 2023, 11:23

Последовательность простых чисел

в форуме Теория чисел

DeD

2

654

28 мар 2017, 01:43

О бесконечности простых близнецов

в форуме Дискуссионные математические проблемы

vorvalm

11

640

07 июл 2021, 18:10

Список простых чисел

в форуме Теория чисел

vinnik

9

960

07 янв 2015, 16:20

Тройки простых чисел

в форуме Теория чисел

Claudia

5

591

18 июн 2018, 13:13

Свойства простых чисел

в форуме Палата №6

Galina Alexandrovna

13

1569

21 июл 2016, 07:14

Метод простых итераций

в форуме Численные методы

Sec

0

458

26 окт 2015, 00:13

Формула простых чисел?

в форуме Теория чисел

Ferma

18

1087

05 дек 2018, 21:11

Метод простых итераций

в форуме Maple

Class

0

305

11 апр 2022, 14:37

Формула простых чисел

в форуме Теория чисел

Xenobius

4

721

15 июл 2016, 08:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved