Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 17:15 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 208
Cпасибо сказано: 207
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На математических олимпиадах довольно часто встречаются уравнения в целых числах, значительно реже - уравнения в простых числах, а вот уравнения в простых близнецах лично мне пока не попадались.
Ну что ж, всё когда-то бывает впервые. Давайте придумаем побольше удивительных уравнений, переменными в которых служат простые числа-близнецы, и опубликуем их в данной теме.
Итак, первое в истории человечества уравнение в простых близнецах:

Решить уравнение [math]p^q+pq-p-q=2q^p[/math]
, где [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые близнецы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 17:36 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 714
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первое в истории решение:
p = 3; q = 5
А вы какой-нибудь метод решения таких уравнений предложить можете? Кроме очевидного и, скорее всего единственного: берём таблицу чисел-близнецов и проверяем? Вряд ли составитель уравнения продвинулся по этой таблице дальше, чем на 3-4 шага.


Последний раз редактировалось Booker48 05 июл 2017, 17:39, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 17:38 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 208
Cпасибо сказано: 207
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Бесконечность множества пар простых близнецов ещё не опровергнута. Как Вы собираетесь проверять бесконечную (возможно) таблицу?
И где Ваше доказательство единственности решения моего уравнения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 17:40 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 714
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А у вас есть док-во, что решение не единственно? Или ваше дело только задачи сочинять?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 17:43 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 13:42
Сообщений: 208
Cпасибо сказано: 207
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
А у вас есть док-во, что решение не единственно? Или ваше дело только задачи сочинять?

Есть, оно нетрудное, на уровне хорошего маткружка.
Позже опубликую, дам форумчанам подумать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 17:47 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 714
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И метод решения - именно в близнецах - тоже есть? На уровне ОЧЕНЬ хорошего маткружка? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 20:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как мне кажется, можно использовать тот факт, что все простые числа -близнецы, кроме первой пары:[math]3,5[/math], можно представить в виде [math]6n\pm1,n\in\mathbb N[/math]. Сделав замену переменных, нужно рассмотреть 2 случая: [math]p>q[/math] и [math]q>p[/math], в первом случае исходное уравнение можно привести к виду: [math](a+2)^a=2a^{a+2}[/math], которое очевидно не имеет решений в целых числах. Это не решение, а просто мысли вслух, возможно ошибочные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 21:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во втором случае уравнение приводится к виду: [math]a^{a+2}+a^2-2=2(a+2)^a[/math], и имеет одно решение при [math]a=6n-1=3[/math], при этом [math]n\notin \mathbb N[/math], что противоречит условию [math]\Longrightarrow[/math] не существует решений исходного уравнения для простых близнецов отличных от пары [math]3,5[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 21:41 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 714
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
К сожалению, при таком решении никак не используется простота неизвестных. Фактически, условие просто содержит дополнительную информацию, что p = q + 2 или q = p + 2. Возможно, у уважаемого ТС есть решение, которое использует и простоту, но я до такого не додумался. :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в простых близнецах
СообщениеДобавлено: 05 июл 2017, 22:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
К сожалению, при таком решении никак не используется простота неизвестных.


Как это не используется? Всю эту простоту мы используем запихивая её в множество [math]6n\pm1[/math], без такого использования простоты и решения не получится )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
Xenia1996
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

в форуме Численные методы

Marshal

5

1741

10 апр 2013, 18:41

Две простых задачки

в форуме Теория вероятностей

rineshka

1

333

02 дек 2013, 22:47

Два простых предела.

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SergeyKunuwin

5

179

25 ноя 2012, 22:07

Пара простых задач

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

5

488

18 дек 2012, 09:47

Метод простых итераций

в форуме Численные методы

Zhanna

5

680

21 дек 2011, 04:41

Метод простых итераций

в форуме Численные методы

Sec

0

192

26 окт 2015, 01:13

Суммы взаимно простых

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

lopkityu

11

417

27 апр 2015, 04:59

Изучение простых чисел

в форуме Теория чисел

grubby

4

416

16 июн 2014, 17:59

Последовательность простых чисел

в форуме Теория чисел

DeD

2

169

28 мар 2017, 02:43

Поиск простых чисел

в форуме Теория чисел

stivsh

7

791

24 май 2013, 16:45


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved