Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 30 июн 2017, 12:04 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Баскетбольный мяч катается без проскальзывания по обручу корзины так, что точка контакта прочерчивает на мяче большую окружность. Центр масс мяча движется по окружности с угловой частотой [math]\Omega[/math]. Радиус мяча -- r; радиус корзины -- R. Угол между направлением из центра мяча на точку контакта и горизонталью равен [math]\theta[/math]. Момент инерции мяча относительно оси проходящей через его центр -- I. Масса мяча -- m. Найти [math]\Omega[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 30 июн 2017, 13:05 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ответ Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 30 июн 2017, 13:42 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разве прочерчивание большой окружности не потребует поворота углового момента?

Поверьте, я не из противоречия говорю - задача красивая, сразу внимание привлекла. Но я не могу уяснить себе физическую картину.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 30 июн 2017, 14:01 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xmas писал(а):
Разве прочерчивание большой окружности не потребует поворота углового момента?


наверняка потребует

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 30 июн 2017, 14:38 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Придётся решать. Теперь не успокоюсь. Это почти тот же случай, как с пивной бутылкой, которую по ободку донышка катается, не падая (если умело закрутить).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 02 июл 2017, 13:50 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
▼ набросок решения
Через S обозначим центр шара; через A обозначим точку контакта шара и обруча; через С обозначим ортогональную проекцию точки S на вертикальную ось вокруг которой вращается центр шара.

Введем подвижную декартову систему координат Sxyz так, что ось z перпендикулярна плоскости большой окружности, которую заметает на шаре точка контакта, а ось Sy лежит все время в горизонтальной плоскости.
Тогда вертикальный единичный вектор будет иметь вид [math]\boldsymbol n=\cos\theta\boldsymbol e_z+\sin\theta\boldsymbol e_x[/math] так что [math]\boldsymbol g=-g\boldsymbol n[/math] Cоответственно вектор угловой скорости подвижной системы выражается формулой [math]\boldsymbol \Omega=\Omega \boldsymbol n[/math]
Вектор угловой скорости шара выражается формулой [math]\boldsymbol \omega=\boldsymbol \Omega+\nu\boldsymbol e_z,\quad \boldsymbol {\dot\omega}=\nu[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol e_z].[/math]

Напишем кинематическое уравнение, связывающее величины [math]\nu,\Omega[/math]:
[math]\boldsymbol v_S=[\boldsymbol\omega,\boldsymbol {AS}]=[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {CS}][/math]

Это векторное уравнение эквивалентно одному скалярному уравнению.


Динамические уравнения следующие
[math]I\boldsymbol {\dot\omega}=[\boldsymbol {SA},\boldsymbol T],\quad m \boldsymbol a_S=\boldsymbol T+m\boldsymbol g,[/math]

где T -- сила реакции обруча, а ускорение центра шара вычисляется по формуле [math]\boldsymbol a_S=[\boldsymbol \Omega,[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {CS}]].[/math]
Выражая T из второго уравнения, находим
[math]I\boldsymbol {\dot\omega}=m[\boldsymbol {SA}
,\boldsymbol a_S-\boldsymbol g][/math]
.
Это уравнение тоже эквивалентно одному скалярному. И так у нас есть два скалярных уравнения на неизвестные [math]\nu,\Omega[/math]
[math]\boldsymbol {AS}=r\boldsymbol e_x; \quad \boldsymbol{CS}=(R-r\cos\theta)(-\cos\theta\boldsymbol e_x+\sin\theta\boldsymbol e_z)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Взлом задачи почти школьным методом
СообщениеДобавлено: 03 июл 2017, 20:34 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel, подвижная система - штука мощная, но шансы чего-то не учесть в ней у меня лично близки к 100%.

Придумалось "школьное" решение (т.е., без "швейцарских армейских ножей", коими являются уравнения Лагранжа/Гамильтона/Якоби)

Идея (и, видимо, сущность задачи) в том, что из-за кольца, которое на даёт мячу упасть вертикально вниз, силу тяжести нужно учитывать не в виде "силы", а в виде "момента силы", который стремится втянуть мяч в кольцо и там дальше уже, когда кольцо перестанет мешать, мяч будет падать по законам гравитации. То есть, вообще всё считается в "моментах", не в силах.

▼ Решение (одно из возможных)
Угловой момент мяча: [math]L = I\omega, \quad I=\frac{2}{3} mr^2,\quad\omega = \frac{\Omega R}{r}[/math]

Модуль проекции углового момента на плоскость кольца: [math]|L^\ast|=L \sin\theta[/math]

Скорость прецессии углового момента: [math]\frac{dL^\ast}{dt}=\Omega |L^\ast|[/math]

С другой стороны, скорость прецессии равна опрокидывающему моменту: [math]\frac{dL}{dt}=M[/math]
На деле эта формула векторная, но в плоскости кольца все векторы сразу расположены, как надо.

Опрокидывающий момент - равнодействующая момента от силы тяжести и от центробежной силы:
[math]M = mr (g\cos\theta - \Omega^2 \rho\sin\theta),\quad \rho=R-r \cos\theta[/math]

Всё. Составляем уравнение. Раскрываем левую часть:
[math]\Omega|L^\ast|\equiv \Omega L \sin\theta\equiv \Omega \left(\frac{2}{3}mr^2\right)\cdot\Omega\frac{R}{r}\sin\theta \equiv mr\cdot\frac{2}{3}\Omega^2 R \sin\theta[/math]

Раскрываем правую часть:
[math]M = mr \bigl(g\cos\theta - \Omega^2 R \sin\theta + \Omega^2 r\cos(\theta)\sin(\theta)\bigr)[/math]

Приравниваем левую/правую части (сразу отбрасывая [math]mr[/math])
[math]\frac{2}{3}\Omega^2 R \sin\theta=g\cos\theta - \Omega^2 R \sin\theta + \Omega^2 r\cos(\theta)\sin(\theta)[/math]

[math]\Omega^2\left(\frac{5}{3} R \sin\theta - r\cos(\theta)\sin(\theta)\right)=g \cos\theta[/math]

Результат:
[math]\Omega^2=\dfrac{g}{\frac{5}{3} R \tan\theta - r \sin \theta}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взлом задачи почти школьным методом
СообщениеДобавлено: 04 июл 2017, 11:26 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xmas писал(а):
wrobel, Угловой момент мяча: [math]L = I\omega, \quad I=\frac{2}{3} mr^2,\quad\omega = \frac{\Omega R}{r}[/math]


нет, угловая скорость мяча не такова. ответ сошелся потому, что попущенное слагаемое постоянно и пропадает при дифференцировании и еще потому, что мяч -- очень симметричная штука, в случаем монеты, например, это уже не сработалобы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 04 июл 2017, 12:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2840
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
***

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Баскетбольный мяч на кольце
СообщениеДобавлено: 04 июл 2017, 13:27 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если брать другие объекты, получается (я не говорю "истина", я говорю "получается")

Для монеты - момент инерции [math]\tfrac{mr^2}{2}[/math],
[math]\quad\Omega^2=\frac{g}{\frac{3}{2} R \tan\theta- r \sin\theta}[/math]

Для обруча - момент инерции [math]mr^2[/math],
[math]\quad\Omega^2=\frac{g}{2 R \tan\theta- r \sin\theta}[/math]

Для шара - момент инерции [math]\tfrac{2mr^2}{5}[/math],
[math]\quad\Omega^2=\frac{g}{\frac{7}{5} R \tan\theta- r \sin\theta}[/math]

Но я не знаю, как это надёжно проверить. Программы моделирования динамики не внушают доверия. Как думается, их удел - игровые движки, а не серьёзные расчёты. Попробовать можно, но в этих системах при небольшом старании даже вечные двигатели клепаются в пару щелчков мыши.

Вот ещё интересный вопрос - если вместо баскетбольного кольца взять чашу, то какой должен быть у неё профиль, чтобы обруч или монета катались по ней, не опрокидываясь, пока не доедут до центра?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложение в ряд Лорана в кольце

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Matimka78

1

127

14 янв 2016, 04:34

Разложить в ряд Лорана в кольце

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

tan_tan

12

465

03 фев 2015, 15:30

как разложить ф-ию в ряд Лорана в кольце?

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

KhomichVeronika

1

283

27 дек 2011, 21:44

Делители нуля и единицы в кольце

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Opif

1

120

16 мар 2016, 16:31

Квадратичный невычет в кольце многочленов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alex893

4

321

20 мар 2012, 16:30

Найти элемент в фактор кольце

в форуме Алгебра

EulaEula

1

49

20 дек 2016, 12:15

Делимость в кольце целых чисел

в форуме Теория чисел

Anna43

5

725

03 ноя 2013, 10:52

Разложить функцию в ряд Лорана в кольце

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

mironone

1

280

20 окт 2014, 22:49

Найти элемент в фактор кольце

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

EulaEula

1

81

22 дек 2016, 12:39

Решение ур-ия в кольце целых чисел

в форуме Теория чисел

chicken

1

153

21 фев 2015, 09:27


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved