Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 22 июн 2017, 19:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4014
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1779 раз в 1482 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Навеяно этой темой.

Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на [math][0;1][/math] и [math]\int\limits_0^1f(x)\,dx=A[/math]. Пусть функция [math]g[/math] выпукла вниз на [math]\mathbb{R}[/math]. Доказать, что

[math]\int\limits_0^1g(f(x))\,dx\geqslant g(A)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 23 июн 2017, 20:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используем неравенство Йенсена для выпуклой вниз функции [math]g(x)[/math]: [math]\frac{ 1 }{ n} \sum\limits_{i=1}^{n} g(x_i)\geqslant g\left( \frac{ 1 }{ n } \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right)[/math]. Заменим интегралы суммами: [math]\int\limits_{0}^{1} f(x)dx =\frac{ 1 }{ n}\sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i)=A[/math] и [math]\int\limits_{0}^{1} g(f(x))dx =\frac{ 1 }{ n}\sum\limits_{i=1}^{n} g(f(x_i))[/math] и получим требуемое [math]\frac{ 1 }{ n} \sum\limits_{i=1}^{n} g(f(x_i))\geqslant g\left( \frac{ 1 }{ n } \sum\limits_{i=1}^{n}f( x_i) \right)=g(A)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 17:55 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 22:56
Сообщений: 276
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
69 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Заменим интегралы суммами

А как доказать, что это можно сделать?


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 18:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что определенный интеграл выражается по определению через суммы - надо доказывать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 19:20 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 22:56
Сообщений: 276
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
69 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Что определенный интеграл выражается по определению через суммы - надо доказывать?

По определению определённый интеграл (по Риману) - это предел интегральных сумм, а вы заменяете интегралы суммами, которые имеют конечное число слагаемых.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 20:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
...


Последний раз редактировалось michel 24 июн 2017, 20:32, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 20:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Нам никто не мешает заменить верхний предел суммирования на бесконечность [math]n \to \infty[/math], неравенство Йенсена работает для любого числа слагаемых...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 21:33 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 22:56
Сообщений: 276
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
69 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Нам никто не мешает заменить верхний предел суммирования на бесконечность

А что вы сделаете с множителем [math]\frac{ 1 }{ n }[/math]?


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 21:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Множитель [math]\frac{ 1 }{ n }[/math] в данном контексте это просто дифференциал [math]\Delta x=dx[/math], то, что он обращается в ноль, нисколько не мешает получать конечные значения для интегральных сумм... Также это не мешает использованию неравенства Йенсена

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Минимум интеграла при заданном условии
СообщениеДобавлено: 24 июн 2017, 22:52 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 22:56
Сообщений: 276
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
69 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Я понял вас так: в неравенстве Йенсена вы переходите к пределу при [math]n \to \infty[/math], считая, что суммы - это интегральные суммы для соответствующих определённых интегралов.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
Human
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Экстремум ФНП при условии

в форуме Дифференциальное исчисление

Ileech

7

357

12 ноя 2012, 02:29

Ошибка в условии?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Nat

3

251

30 май 2014, 09:22

Доказать неравенство при условии

в форуме Алгебра

Amorah

13

343

02 июн 2017, 06:52

Экстремум функции 2-х переменных при условии

в форуме Дифференциальное исчисление

swillrocker

2

349

06 июл 2014, 04:20

Найдите вероятность поражения цели при условии

в форуме Теория вероятностей

VICTORQQQQ

3

70

11 апр 2017, 21:39

Вероятность того, что экспертиза положительная при условии

в форуме Теория вероятностей

vladislav1

3

287

19 мар 2012, 18:43

При каком условии мат. ожидание будет нулевым?

в форуме Теория вероятностей

Tony_King

2

139

26 дек 2011, 22:22

При каком условии интеграл является алгебраической функцией

в форуме Интегральное исчисление

Isaev_Evgeniy

1

158

26 апр 2013, 12:05

Рассчитать объем импорта при условии, что экспорт равен 350$

в форуме Экономика и Финансы

andrey428

4

1945

13 мар 2012, 19:52

Задача для четвертого класса.Есть ли здесь ошибка в условии?

в форуме Алгебра

Suitable

1

189

08 окт 2014, 15:09


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved