Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 11 июн 2017, 20:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4014
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1779 раз в 1482 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Последовательность [math]a_n[/math] неотрицательна, и ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n[/math] сходится. Верно ли, что ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na^2_n[/math] тоже сходится?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 июн 2017, 22:50 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
доказать ни чего не могу, но я бы поставил на "нет"

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 00:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может быть это зависит от ряда?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 00:37 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 4121
Cпасибо сказано: 506
Спасибо получено:
1030 раз в 910 сообщениях
Очков репутации: 310

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Может быть это зависит от ряда?


Думаю, если это зависит от ряда, то ответить нужно "нет". Речь, как я понял, о произвольном ряде лишь с двумя условиями.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 00:57 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3272
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
207 раз в 196 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):

Думаю, если это зависит от ряда, то ответить нужно "нет".


Да.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 12:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4014
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1779 раз в 1482 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Может быть это зависит от ряда?

Это в точности и есть вопрос задачи.

Поскольку мелкий конфуз в понимании условия все же произошел, то переформулирую вопрос. Верно ли следующее утверждение: если последовательность [math]a_n[/math] неотрицательна, и ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n[/math] сходится, то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na^2_n[/math] тоже сходится? Если верно, то предъявить доказательство, а если нет, то соответствующий пример.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 20 июн 2017, 08:58 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
выкладывайте уже решениие :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Еще задачка на сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 20 июн 2017, 16:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4014
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1779 раз в 1482 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel, как скажете :) .

Ответ, как уже многие интуитивно поняли, отрицательный, но контрпример действительно нелегко так сразу придумать. Понятно, что искать нужно среди немонотонных последовательностей (для монотонных справедлив признак Лейбница), но даже в этом случае последовательность нужно специально "настраивать" так, чтобы квадрат существенно все "портил".

А идея построения контрпримера, на самом деле, точно такая же, как и в другой моей задаче про ряд из кубов (http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=51293): попытаться подобрать периодическую последовательность, у которой сумма членов периода равна нулю, а после возведения в квадрат с сохранением знака эта сумма перестает обращаться в нуль. В данной задаче удобно взять период 4. Например, что-нибудь типа такого:

[math](-1)^nb_n=(-1;0;-1;2;-1;0;-1;2;\ldots)\Rightarrow(-1)^nb^2_n=(-1;0;-1;4;-1;0;-1;4;\ldots)[/math]

После деления на [math]\sqrt n[/math], мы и получаем искомый контрпример. Его можно записать в компактной форме, удобной для дальнейших обоснований:

[math]\boxed{ a_n=\frac{1+\cos\frac{\pi n}2}{\sqrt n} }\geqslant0[/math]

Тогда

[math](-1)^na_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac{\cos\frac{\pi n}2}{\sqrt n}[/math] - сходится по признакам Лейбница и Дирихле;

[math](-1)^na^2_n=\frac{3(-1)^n}{2n}+\frac{2\cos\frac{\pi n}2}n+\frac1{2n}[/math] - первые два сходятся по Лейбницу и Дирихле, последний расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость рядов

в форуме Ряды

Lina_Vls

4

202

15 апр 2014, 16:45

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Vlad_gribanov

1

170

24 дек 2013, 00:42

Сходимость рядов

в форуме Ряды

graft

1

111

02 дек 2015, 09:36

Сходимость рядов

в форуме Ряды

arreke

1

224

14 май 2012, 09:04

Сходимость рядов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Evgeniya Sidorenko

1

185

12 фев 2014, 12:38

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Katrich

35

977

08 ноя 2013, 00:01

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Barabash

1

213

01 ноя 2013, 15:16

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Dafanich

1

196

22 дек 2012, 15:04

Сходимость рядов

в форуме Ряды

deus

3

257

21 дек 2012, 17:59

Сходимость рядов

в форуме Ряды

arreke

5

349

14 май 2012, 08:18


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved