Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Приблизить x многочленами без линейной части
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=53908
Страница 1 из 2

Автор:  Human [ 14 апр 2017, 17:59 ]
Заголовок сообщения:  Приблизить x многочленами без линейной части

Существует ли последовательность многочленов [math]P_n(x)[/math] ([math]n[/math] здесь - это номер многочлена в последовательности, а не его степень) такая, что последовательность [math]x^2P_n(x)[/math] сходится равномерно к [math]x[/math] на отрезке [math][-1;1][/math]?

Автор:  searcher [ 14 апр 2017, 19:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится.
Чувствую, что тут что-то не так. Я как всегда, наверное, неправильно понял условие.

Автор:  Human [ 14 апр 2017, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

searcher писал(а):
Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится.

Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль. А если брать не тождественный нуль, то после умножения многочленов приближения на [math]x^2[/math] предельная функция тоже умножится на [math]x^2[/math]. Очевидно, не существует такой функции [math]f\in C[-1;1][/math], что [math]x^2f(x)=x[/math]. Что, однако, еще не дает отрицательного ответа на вопрос задачи.

Ну и кроме того, тождественный нуль приближается... нулями, ибо они тоже многочлены.

Автор:  searcher [ 14 апр 2017, 20:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

Human писал(а):
Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль.

Извините. Сейчас смотрю на условие задачи внимательно. Уже который раз замечаю за собой, что читаю одно, а себе в голове имею в виду другое. То ли я при беглом чтении некоторые слова пропускаю?

Автор:  searcher [ 14 апр 2017, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

Первые мысли. Допустим [math]|x^2[1+xP_n(x)]-x|\le \varepsilon[/math]. Это равносильно
[math]-1+x^{-1}-\varepsilon x^{-2} \le xP_n(x) \le -1 +x^{-1}+ \varepsilon x^{-2}[/math].
В окрестности нуля не так уж и плохо. Завтра продолжу.

Автор:  searcher [ 15 апр 2017, 13:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

В продолжение к вчерашнему. Задача сводится к тому, что для любого [math]\varepsilon \ge 0[/math] можно построить многочлен [math]P_n(x)[/math], лежащий в коридоре
[math]-x^{-1}+x^{-2}-\varepsilon |x|^{-3} \le P_n(x) \le -x^{-1}+x^{-2}+ \varepsilon |x|^{-3}[/math]. Причём, ширина этого коридора увеличивается с уменьшением [math]x[/math], и для любого [math]\varepsilon \ge 0[/math] можно найти конечную на интервале [math][0,1][/math] достаточно гладкую функцию, лежащую в этом коридоре. Пока склоняюсь к утвердительному ответу на вопрос из первого поста.

Автор:  wrobel [ 15 апр 2017, 13:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

-

Автор:  wrobel [ 15 апр 2017, 13:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

а если взять последовательность фунуий [math]f_k(x)=\frac{1}{x},\quad |x|>\frac{1}{k}[/math] и [math]f_k(x)=k^2x,\quad |x|\le \frac{1}{k}[/math]. Это непрерывные функции, каждая из них равномерно приближается многочленами на указанном отрезке. А потом в качестве [math]P_n[/math] взять диагональную последовательность этих многочленов. Должно получиться. Скажем будем брать многочлены такие, что
[math]|P_k(x)-f_k(x)|\le\frac{1}{k^{10}},\quad x\in[-1,1][/math]



UPD

Автор:  Human [ 15 апр 2017, 18:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

wrobel
Да, это прокатит, но нужно еще пару важных выкладок сделать, чтобы показать, что все со сходимостью будет нормально (особенно в "щели" [math]|x|\leqslant\frac1k[/math]). Там ведь все-таки важно, что [math]x^2P_n(x) \rightrightarrows x[/math], а не просто [math]xP_n(x) \rightrightarrows 1[/math].

Я почему-то ранее думал, что так сделать не получится, а потом понял, что думал безосновательно, ведь если искомая последовательность многочленов существует, то она сходится равномерно к [math]\frac1x[/math] вне любой окрестности нуля, так что приближать [math]\frac1x[/math] - вполне естественная идея. До диагонального аргумента я дошел, но возникли трудности с обоснованием. Сейчас вижу, что все хорошо.

Мое решение тоже использует теорему Вейерштрасса, но совсем в другом ключе, и мне оно нравится больше, поскольку не требует технических обоснований и выкладок. Я его приведу позже, может, задача еще кого-нибудь заинтересует и он найдет решение попроще.

Автор:  Human [ 17 апр 2017, 12:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приблизить x многочленами без линейной части

А давайте я тогда сразу и обобщенную задачу дам!

Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][-1;1][/math], причем [math]f(0)=0[/math]. Доказать, что для любого натурального [math]m[/math] найдется последовательность многочленов [math]P_{n,m}(x)[/math] такая, что [math]x^mP_{n,m}(x)\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows} f(x)[/math] на [math][-1;1][/math].

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/