Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Приблизить x многочленами без линейной части http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=53908 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Human [ 14 апр 2017, 17:59 ] |
Заголовок сообщения: | Приблизить x многочленами без линейной части |
Существует ли последовательность многочленов [math]P_n(x)[/math] ([math]n[/math] здесь - это номер многочлена в последовательности, а не его степень) такая, что последовательность [math]x^2P_n(x)[/math] сходится равномерно к [math]x[/math] на отрезке [math][-1;1][/math]? |
Автор: | searcher [ 14 апр 2017, 19:24 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится. |
Автор: | Human [ 14 апр 2017, 19:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
searcher писал(а): Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится. Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль. А если брать не тождественный нуль, то после умножения многочленов приближения на [math]x^2[/math] предельная функция тоже умножится на [math]x^2[/math]. Очевидно, не существует такой функции [math]f\in C[-1;1][/math], что [math]x^2f(x)=x[/math]. Что, однако, еще не дает отрицательного ответа на вопрос задачи. Ну и кроме того, тождественный нуль приближается... нулями, ибо они тоже многочлены. |
Автор: | searcher [ 14 апр 2017, 20:52 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
Human писал(а): Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль. Извините. Сейчас смотрю на условие задачи внимательно. Уже который раз замечаю за собой, что читаю одно, а себе в голове имею в виду другое. То ли я при беглом чтении некоторые слова пропускаю? |
Автор: | searcher [ 14 апр 2017, 22:14 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
Автор: | searcher [ 15 апр 2017, 13:29 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
Автор: | wrobel [ 15 апр 2017, 13:32 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
- |
Автор: | wrobel [ 15 апр 2017, 13:55 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
а если взять последовательность фунуий [math]f_k(x)=\frac{1}{x},\quad |x|>\frac{1}{k}[/math] и [math]f_k(x)=k^2x,\quad |x|\le \frac{1}{k}[/math]. Это непрерывные функции, каждая из них равномерно приближается многочленами на указанном отрезке. А потом в качестве [math]P_n[/math] взять диагональную последовательность этих многочленов. Должно получиться. Скажем будем брать многочлены такие, что [math]|P_k(x)-f_k(x)|\le\frac{1}{k^{10}},\quad x\in[-1,1][/math] UPD |
Автор: | Human [ 15 апр 2017, 18:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
wrobel Да, это прокатит, но нужно еще пару важных выкладок сделать, чтобы показать, что все со сходимостью будет нормально (особенно в "щели" [math]|x|\leqslant\frac1k[/math]). Там ведь все-таки важно, что [math]x^2P_n(x) \rightrightarrows x[/math], а не просто [math]xP_n(x) \rightrightarrows 1[/math]. Я почему-то ранее думал, что так сделать не получится, а потом понял, что думал безосновательно, ведь если искомая последовательность многочленов существует, то она сходится равномерно к [math]\frac1x[/math] вне любой окрестности нуля, так что приближать [math]\frac1x[/math] - вполне естественная идея. До диагонального аргумента я дошел, но возникли трудности с обоснованием. Сейчас вижу, что все хорошо. Мое решение тоже использует теорему Вейерштрасса, но совсем в другом ключе, и мне оно нравится больше, поскольку не требует технических обоснований и выкладок. Я его приведу позже, может, задача еще кого-нибудь заинтересует и он найдет решение попроще. |
Автор: | Human [ 17 апр 2017, 12:52 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Приблизить x многочленами без линейной части |
А давайте я тогда сразу и обобщенную задачу дам! Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][-1;1][/math], причем [math]f(0)=0[/math]. Доказать, что для любого натурального [math]m[/math] найдется последовательность многочленов [math]P_{n,m}(x)[/math] такая, что [math]x^mP_{n,m}(x)\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows} f(x)[/math] на [math][-1;1][/math]. |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |