Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Human |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится.
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
searcher писал(а): Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится. Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль. А если брать не тождественный нуль, то после умножения многочленов приближения на [math]x^2[/math] предельная функция тоже умножится на [math]x^2[/math]. Очевидно, не существует такой функции [math]f\in C[-1;1][/math], что [math]x^2f(x)=x[/math]. Что, однако, еще не дает отрицательного ответа на вопрос задачи. Ну и кроме того, тождественный нуль приближается... нулями, ибо они тоже многочлены. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Human писал(а): Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль. Извините. Сейчас смотрю на условие задачи внимательно. Уже который раз замечаю за собой, что читаю одно, а себе в голове имею в виду другое. То ли я при беглом чтении некоторые слова пропускаю? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
-
|
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
а если взять последовательность фунуий [math]f_k(x)=\frac{1}{x},\quad |x|>\frac{1}{k}[/math] и [math]f_k(x)=k^2x,\quad |x|\le \frac{1}{k}[/math]. Это непрерывные функции, каждая из них равномерно приближается многочленами на указанном отрезке. А потом в качестве [math]P_n[/math] взять диагональную последовательность этих многочленов. Должно получиться. Скажем будем брать многочлены такие, что
[math]|P_k(x)-f_k(x)|\le\frac{1}{k^{10}},\quad x\in[-1,1][/math] UPD |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
wrobel
Да, это прокатит, но нужно еще пару важных выкладок сделать, чтобы показать, что все со сходимостью будет нормально (особенно в "щели" [math]|x|\leqslant\frac1k[/math]). Там ведь все-таки важно, что [math]x^2P_n(x) \rightrightarrows x[/math], а не просто [math]xP_n(x) \rightrightarrows 1[/math]. Я почему-то ранее думал, что так сделать не получится, а потом понял, что думал безосновательно, ведь если искомая последовательность многочленов существует, то она сходится равномерно к [math]\frac1x[/math] вне любой окрестности нуля, так что приближать [math]\frac1x[/math] - вполне естественная идея. До диагонального аргумента я дошел, но возникли трудности с обоснованием. Сейчас вижу, что все хорошо. Мое решение тоже использует теорему Вейерштрасса, но совсем в другом ключе, и мне оно нравится больше, поскольку не требует технических обоснований и выкладок. Я его приведу позже, может, задача еще кого-нибудь заинтересует и он найдет решение попроще. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
А давайте я тогда сразу и обобщенную задачу дам!
Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][-1;1][/math], причем [math]f(0)=0[/math]. Доказать, что для любого натурального [math]m[/math] найдется последовательность многочленов [math]P_{n,m}(x)[/math] такая, что [math]x^mP_{n,m}(x)\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows} f(x)[/math] на [math][-1;1][/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Приблизить функцию
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
8 |
860 |
08 май 2018, 18:59 |
|
Приблизить функцию на промежутке
в форуме Maple |
1 |
304 |
26 мар 2017, 18:13 |
|
Пример с многочленами
в форуме Алгебра |
1 |
272 |
17 май 2016, 01:19 |
|
Задача с многочленами
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
307 |
16 май 2017, 18:32 |
|
Аппроксимация многочленами Чебышева
в форуме Численные методы |
2 |
276 |
29 май 2017, 10:05 |
|
Кривая делит круг на части. Найти площадь наибольшей части
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
184 |
27 дек 2020, 00:00 |
|
Задачи по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
694 |
18 дек 2016, 17:49 |
|
Доказательство по линейной алгебре | 2 |
285 |
21 май 2019, 12:34 |
|
Задание по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
357 |
09 июн 2016, 12:35 |
|
Задача по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
558 |
05 апр 2017, 19:24 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |