Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 18:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Существует ли последовательность многочленов [math]P_n(x)[/math] ([math]n[/math] здесь - это номер многочлена в последовательности, а не его степень) такая, что последовательность [math]x^2P_n(x)[/math] сходится равномерно к [math]x[/math] на отрезке [math][-1;1][/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 20:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится.
Чувствую, что тут что-то не так. Я как всегда, наверное, неправильно понял условие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 20:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Непрерывную функцию, например, тождественно равную нулю, можно как угодно близко приблизить в равномерной метрике пространства [math]C[-1,1][/math] последовательностью многочленов (тут я вспомнил про многочлены Чебышева). Если эту последовательность умножить на [math]x^2[/math], то сходимость сохранится.

Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль. А если брать не тождественный нуль, то после умножения многочленов приближения на [math]x^2[/math] предельная функция тоже умножится на [math]x^2[/math]. Очевидно, не существует такой функции [math]f\in C[-1;1][/math], что [math]x^2f(x)=x[/math]. Что, однако, еще не дает отрицательного ответа на вопрос задачи.

Ну и кроме того, тождественный нуль приближается... нулями, ибо они тоже многочлены.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 21:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Так приближать надо [math]f(x)=x[/math], а не тождественный нуль.

Извините. Сейчас смотрю на условие задачи внимательно. Уже который раз замечаю за собой, что читаю одно, а себе в голове имею в виду другое. То ли я при беглом чтении некоторые слова пропускаю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 14 апр 2017, 23:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первые мысли. Допустим [math]|x^2[1+xP_n(x)]-x|\le \varepsilon[/math]. Это равносильно
[math]-1+x^{-1}-\varepsilon x^{-2} \le xP_n(x) \le -1 +x^{-1}+ \varepsilon x^{-2}[/math].
В окрестности нуля не так уж и плохо. Завтра продолжу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 15 апр 2017, 14:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В продолжение к вчерашнему. Задача сводится к тому, что для любого [math]\varepsilon \ge 0[/math] можно построить многочлен [math]P_n(x)[/math], лежащий в коридоре
[math]-x^{-1}+x^{-2}-\varepsilon |x|^{-3} \le P_n(x) \le -x^{-1}+x^{-2}+ \varepsilon |x|^{-3}[/math]. Причём, ширина этого коридора увеличивается с уменьшением [math]x[/math], и для любого [math]\varepsilon \ge 0[/math] можно найти конечную на интервале [math][0,1][/math] достаточно гладкую функцию, лежащую в этом коридоре. Пока склоняюсь к утвердительному ответу на вопрос из первого поста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 15 апр 2017, 14:32 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
-

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 15 апр 2017, 14:55 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а если взять последовательность фунуий [math]f_k(x)=\frac{1}{x},\quad |x|>\frac{1}{k}[/math] и [math]f_k(x)=k^2x,\quad |x|\le \frac{1}{k}[/math]. Это непрерывные функции, каждая из них равномерно приближается многочленами на указанном отрезке. А потом в качестве [math]P_n[/math] взять диагональную последовательность этих многочленов. Должно получиться. Скажем будем брать многочлены такие, что
[math]|P_k(x)-f_k(x)|\le\frac{1}{k^{10}},\quad x\in[-1,1][/math]



UPD

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 15 апр 2017, 19:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel
Да, это прокатит, но нужно еще пару важных выкладок сделать, чтобы показать, что все со сходимостью будет нормально (особенно в "щели" [math]|x|\leqslant\frac1k[/math]). Там ведь все-таки важно, что [math]x^2P_n(x) \rightrightarrows x[/math], а не просто [math]xP_n(x) \rightrightarrows 1[/math].

Я почему-то ранее думал, что так сделать не получится, а потом понял, что думал безосновательно, ведь если искомая последовательность многочленов существует, то она сходится равномерно к [math]\frac1x[/math] вне любой окрестности нуля, так что приближать [math]\frac1x[/math] - вполне естественная идея. До диагонального аргумента я дошел, но возникли трудности с обоснованием. Сейчас вижу, что все хорошо.

Мое решение тоже использует теорему Вейерштрасса, но совсем в другом ключе, и мне оно нравится больше, поскольку не требует технических обоснований и выкладок. Я его приведу позже, может, задача еще кого-нибудь заинтересует и он найдет решение попроще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Приблизить x многочленами без линейной части
СообщениеДобавлено: 17 апр 2017, 13:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А давайте я тогда сразу и обобщенную задачу дам!

Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][-1;1][/math], причем [math]f(0)=0[/math]. Доказать, что для любого натурального [math]m[/math] найдется последовательность многочленов [math]P_{n,m}(x)[/math] такая, что [math]x^mP_{n,m}(x)\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows} f(x)[/math] на [math][-1;1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Приблизить функцию на промежутке

в форуме Maple

nik21

1

80

26 мар 2017, 19:13

Пример с многочленами

в форуме Алгебра

mjdoom2

1

67

17 май 2016, 02:19

Задача с многочленами

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nataliy

4

102

16 май 2017, 19:32

Тест на действия с многочленами

в форуме Алгебра

f00rZ

3

296

29 окт 2012, 19:17

Аппроксимация многочленами Чебышева

в форуме Численные методы

leonid_spartak

2

73

29 май 2017, 11:05

Дробные неравенства с многочленами и тригонометрией.

в форуме Тригонометрия

fanat-spartaka07

1

430

09 ноя 2011, 21:15

Вычислить предел дроби с кубическими многочленами

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

LLL

6

302

24 ноя 2012, 16:26

Задачи по Линейной Алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

v1negret

1

108

22 апр 2016, 13:13

Задачи по линейной алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

vangogiy

0

87

18 дек 2016, 18:49

Погрешность линейной интерполяции

в форуме Численные методы

Semilar

0

213

25 ноя 2014, 11:54


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved