Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача №13
СообщениеДобавлено: 07 фев 2017, 20:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 11:27
Сообщений: 7859
Cпасибо сказано: 626
Спасибо получено:
7053 раз в 5486 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №13
СообщениеДобавлено: 07 фев 2017, 22:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 23:27
Сообщений: 4518
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 532
Спасибо получено:
298 раз в 250 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Например:
самому младшему сегодня - 2 года
самому старшему - 15 лет
двум другим: 10 и 11 лет.
Тогда сегодня:

[math]15^2=2^2+10^2+11^2[/math]

и через год:

[math]16^2+3^2=11^2+12^2[/math]

Годится? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Nataly-Mak "Спасибо" сказали:
andrei
 Заголовок сообщения: Re: Задача №13
СообщениеДобавлено: 08 фев 2017, 15:26 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3191
Cпасибо сказано: 55
Спасибо получено:
697 раз в 630 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a_1^2+a_2^2+a_3^2=a_4^2[/math]
[math](a_2+1)^2+(a_3+1)^2=(a_1+1)^2+(a_4+1)^2[/math]
Вычитая из второго первое получим
[math]2a_1^2+2a_1=2(a_2+a_3-a_4)<2a_2<2\cdot 16=32[/math]
Откуда [math]1\leqslant a_1 \leqslant 3[/math]

Покажем, что [math]a_1[/math] - четно
Поскольку квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 4, то в левой части первого уравнения не более 1-го нечетного числа. Иначе при делении суммы на 4 остаток будет равен 2 или 3 и сумма не может быть квадратом.
То есть, если [math]a_1[/math] - нечетно, то тогда [math]a_2[/math] и [math]a_3[/math] - четны, а [math]a_4[/math] - нечетно.
Тогда во втором уравнении при делении на 4 слева будет остаток 2 (сумма квадратов 2 нечетных чисел), а справа 0 (сумма квадратов двух четных). Противоречие.
То есть [math]a_1[/math] - четно, а значит [math]a_1=2[/math].

Осталось показать, что множество решений непусто, с чем Nataly-Mak успешно справилась.
(вручную его найти очень просто, но нет времени расписать, извините)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача №5

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

22

601

21 авг 2016, 13:09

Задача

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Owl1337

1

155

27 ноя 2014, 16:05

Задача

в форуме Теория вероятностей

Timon41ra

11

734

24 сен 2013, 21:21

Задача

в форуме Теория вероятностей

jdit000

5

173

08 окт 2014, 21:23

Задача

в форуме Теория вероятностей

jdit000

1

138

08 окт 2014, 19:12

Задача

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kayafirsh

0

164

18 июн 2015, 16:40

Задача №16

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

3

140

21 мар 2017, 05:54

ЗАдача

в форуме Объявления участников Форума

stil_list9393

0

167

25 дек 2014, 16:36

Задача

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Luna

1

135

13 июн 2015, 08:39

Задача №1

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

200

09 июн 2016, 12:25


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved