Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сколько налить в банку, чтобы она была наиболее устойчивой?
СообщениеДобавлено: 21 янв 2017, 21:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Простая школьная задача по физике, которая мне очень нравится :)

Насколько нужно наполнить цилиндрическую банку массы [math]m[/math] высотой [math]H[/math] и площадью основания [math]S[/math] жидкостью с плотностью [math]\rho[/math], чтобы ее центр масс принимал наинизшее положение? Считать, что центр масс пустой банки совпадает с ее геометрическим центром, стенки банки тонкие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Сколько налить в банку, чтобы она была наиболее устойчивой?
СообщениеДобавлено: 21 янв 2017, 21:47 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 779
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
118 раз в 112 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Считать, что центр масс пустой банки совпадает с ее геометрическим центром, стенки банки тонкие.

Вот это непонятно, как такое может быть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сколько налить в банку, чтобы она была наиболее устойчивой?
СообщениеДобавлено: 21 янв 2017, 22:13 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 20:51
Сообщений: 110
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
18 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось вот столько:

[math]h=\frac{m}{\rho S}\left ( \sqrt{1+\frac{\rho SH}{m}}-1 \right )[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Сколько налить в банку, чтобы она была наиболее устойчивой?
СообщениеДобавлено: 21 янв 2017, 22:29 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получилось столько же.
Решение. Пусть h – уровень воды.
Центр масс сосуда с водой находится на высоте:
[math]\frac{{\rho Sh\frac{h}{2}+ m\frac{H}{2}}}{{\rho Sh + m}}= \frac{1}{2}\left({\frac{{{h^2}+ aH}}{{h + a}}}\right),\;a = \frac{m}{{\rho S}}= const[/math].

Или [math]\frac{1}{2}\left({\frac{{{h^2}-{a^2}}}{{h + a}}+ \frac{{{a^2}+ aH}}{{h + a}}}\right) = \frac{1}{2}\left({h + a + \frac{{{a^2}+ aH}}{{h + a}}- 2a}\right)[/math].

Это выражение принимает минимальное значение при [math]h + a = \sqrt{{a^2}+ aH}\Rightarrow h = a\left({\sqrt{1 + \frac{H}{a}}- 1}\right) = \frac{m}{{\rho S}}\left({\sqrt{1 + \frac{{H\rho S}}{m}}- 1}\right)[/math].
При этом центр масс сосуда с водой находится на уровне воды h.

Даже дифференцировать не пришлось...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Сколько налить в банку, чтобы она была наиболее устойчивой?
СообщениеДобавлено: 22 янв 2017, 10:44 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
При этом центр масс сосуда с водой находится на уровне воды h


Заметим, что это общее правило максимальной устойчивости в задаче такого рода.
Банка может быть любой формы, например, фигурный вазон. Плотность жидкости может быть переменной по высоте.

Правило можно доказать простыми "детскими" соображениями:
Пусть уровень воды находится на уровне центра масс сосуда с водой.
Заморозим, загелируем и т.п. воду в этом состоянии, чтобы она не текла.
Перевернем и подвесим банку в горизонтальном положении, так что точка подвеса совпадает с центром масс.
В таком состоянии будет равновесие.

Можно проделать два эксперимента:
1 добавим немного воды со стороны горлышка банки;
2 уберем часть воды со стороны дна сосуда.
В каждой случае банка потеряет равновесие и горлышко будет опускаться.
То есть центр масс системы сместился в сторону горлышка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Подобрать а, чтобы функция была непрерывной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lincah441

0

191

08 дек 2014, 21:07

провести касательную, чтобы площадь треугольника была мах

в форуме Дифференциальное исчисление

kiss_of_life

3

169

17 дек 2011, 22:10

Найти такие кривые, чтобы поднормаль в каждой точке была

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Darik

1

237

14 ноя 2011, 17:12

Сколько времени потребуется, чтобы прополоть две грядки?

в форуме Алгебра

oksi

19

1019

11 фев 2014, 00:09

Сколько изделий необходимо обследовать, чтобы определить

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Stolzes

4

727

05 янв 2012, 14:15

Сколько шин взять для проверки, чтобы с вероятностью 0,9876

в форуме Теория вероятностей

sinatra

3

581

04 ноя 2012, 13:34

Сколько бросать кубик, чтобы каждая грань выпала хоть раз?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

skyratt

4

172

15 дек 2015, 17:45

Сколько труб нужно тех и других чтобы число швов было меньше

в форуме Теория чисел

gozarinni

1

211

22 апр 2012, 16:52

Вычисление наиболее рациональным способом

в форуме Алгебра

NextGen

19

855

22 июл 2015, 20:56

Как найти формулу F(x, y, z) чтоб была тавтология?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Minderis

6

326

06 ноя 2012, 02:40


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved