Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Boris Skovoroda |
|
|
Пусть случайная величина [math]X[/math] имеет равномерное распределение на отрезке [math][0;1][/math], а случайная величина [math]Y[/math] имеет равномерное распределение на отрезке [math][0;a],[/math] где [math]a \; -[/math] произвольное положительное число. Доказать, что при любом совместном распределении случайных величин [math]X[/math] и [math]Y[/math] выполняется неравенство: [math]M(\left| X-Y \right| ) \leqslant\frac{ a^{2}+1 }{ 2(a+1) }.[/math] При [math]a=1[/math] это неравенство доказал Human в теме viewtopic.php?f=36&t=52366, а swan показал, что его нельзя улучшить, так как при [math]Y=1-X[/math] получается равенство. Данное неравенство тоже нельзя улучшить, поскольку при [math]Y=a(1-X)[/math] получается равенство. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
[math]|X-Y|\leqslant\left|X-\frac a{a+1}\right|+\left|Y-\frac a{a+1}\right|[/math]
И дальше по аналогии. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Boris Skovoroda |
||
Boris Skovoroda |
|
|
Ещё одна задача на эту тему. Пусть случайные величины [math]X[/math] и [math]Y[/math] имеют одинаковое распределение с плотностью распределения [math]f(x)=ax^{a-1}[/math] при [math]x \in [0;1][/math] и [math]f(x)=0[/math] во всех других точках, где [math]a \; -[/math] произвольное положительное число. По аналогии с предыдущей задачей можно доказать, что при любом совместном распределении случайных величин [math]X[/math] и [math]Y[/math] выполняется неравенство: [math]M(|X−Y|)⩽\frac{ 2a }{ a+1 }\left( 1-2^{-\frac{ 1 }{ a } } \right) .[/math] Доказать, что зто неравенство нельзя улучшить. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали: Human |
||
Human |
|
|
Достигается при [math]X^a+Y^a=1[/math]. При этом
[math]|X-Y|=|X-c|+|Y-c|,\ c=2^{-\frac1a}[/math] На самом деле, можно даже еще более общее утверждение сделать: Пусть [math]X,\ Y[/math] - одинаково распределенные случайные величины с непрерывной строго возрастающей функцией распределения [math]F(x)[/math] и конечным матожиданием. Тогда [math]M|X-Y|\leqslant2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(x)\,dx[/math] где [math]G(x)=\left\{\!\begin{aligned}F(x),\ x\leqslant c \\ 1-F(x),\ x>c \end{aligned}\right.,\ c=F^{-1}\left(\frac12\right)[/math], причем равенство достигается при [math]F(X)+F(Y)=1[/math]. Возможно, подобное утверждение будет верно и вообще для произвольного распределения. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Boris Skovoroda |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать неравенство | 1 |
296 |
15 май 2016, 06:40 |
|
Как доказать неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
290 |
28 окт 2015, 19:53 |
|
Доказать неравенство | 1 |
376 |
14 окт 2015, 23:45 |
|
Доказать неравенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
334 |
26 сен 2017, 17:48 |
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
9 |
422 |
27 дек 2020, 17:34 |
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
5 |
354 |
18 июн 2018, 17:20 |
|
Доказать неравенство
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
8 |
272 |
30 дек 2022, 15:18 |
|
Доказать неравенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
380 |
19 июл 2017, 10:38 |
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
3 |
465 |
10 июн 2017, 16:06 |
|
Доказать неравенство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
9 |
617 |
29 дек 2017, 17:20 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |