Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 08 янв 2017, 11:50 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Пусть случайная величина [math]X[/math] имеет равномерное распределение на отрезке [math][0;1][/math], а случайная величина [math]Y[/math] имеет равномерное распределение на отрезке [math][0;a],[/math] где [math]a \; -[/math] произвольное положительное число. Доказать, что при любом совместном распределении случайных величин [math]X[/math] и [math]Y[/math] выполняется неравенство: [math]M(\left| X-Y \right| ) \leqslant\frac{ a^{2}+1 }{ 2(a+1) }.[/math]


При [math]a=1[/math] это неравенство доказал Human в теме viewtopic.php?f=36&t=52366, а swan показал, что его нельзя улучшить, так как при [math]Y=1-X[/math] получается равенство. Данное неравенство тоже нельзя улучшить, поскольку при [math]Y=a(1-X)[/math] получается равенство.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 08 янв 2017, 23:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]|X-Y|\leqslant\left|X-\frac a{a+1}\right|+\left|Y-\frac a{a+1}\right|[/math]

И дальше по аналогии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 11 янв 2017, 11:59 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Ещё одна задача на эту тему.


Пусть случайные величины [math]X[/math] и [math]Y[/math] имеют одинаковое распределение с плотностью распределения [math]f(x)=ax^{a-1}[/math] при [math]x \in [0;1][/math] и [math]f(x)=0[/math] во всех других точках, где [math]a \; -[/math] произвольное положительное число. По аналогии с предыдущей задачей можно доказать, что при любом совместном распределении случайных величин [math]X[/math] и [math]Y[/math] выполняется неравенство: [math]M(|X−Y|)⩽\frac{ 2a }{ a+1 }\left( 1-2^{-\frac{ 1 }{ a } } \right) .[/math]

Доказать, что зто неравенство нельзя улучшить.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 11 янв 2017, 18:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Достигается при [math]X^a+Y^a=1[/math]. При этом

[math]|X-Y|=|X-c|+|Y-c|,\ c=2^{-\frac1a}[/math]

На самом деле, можно даже еще более общее утверждение сделать:

Пусть [math]X,\ Y[/math] - одинаково распределенные случайные величины с непрерывной строго возрастающей функцией распределения [math]F(x)[/math] и конечным матожиданием. Тогда

[math]M|X-Y|\leqslant2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(x)\,dx[/math]

где [math]G(x)=\left\{\!\begin{aligned}F(x),\ x\leqslant c \\ 1-F(x),\ x>c
\end{aligned}\right.,\ c=F^{-1}\left(\frac12\right)[/math]
, причем равенство достигается при [math]F(X)+F(Y)=1[/math].

Возможно, подобное утверждение будет верно и вообще для произвольного распределения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Boris Skovoroda
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать неравенство

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

alesger

1

296

15 май 2016, 06:40

Как доказать неравенство

в форуме Алгебра

Kosta

1

290

28 окт 2015, 19:53

Доказать неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

pavel19385638

1

376

14 окт 2015, 23:45

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jugalator

3

334

26 сен 2017, 17:48

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

chelovek466664

9

422

27 дек 2020, 17:34

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Zero

5

354

18 июн 2018, 17:20

Доказать неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

lvbealr

8

272

30 дек 2022, 15:18

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Elbek

4

380

19 июл 2017, 10:38

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Amorah

3

465

10 июн 2017, 16:06

Доказать неравенство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

khammisha

9

617

29 дек 2017, 17:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved