Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

О делимости числа беспорядков
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=52312
Страница 1 из 1

Автор:  Boris Skovoroda [ 31 дек 2016, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  О делимости числа беспорядков

Пусть [math]D_{n}[/math] - число перестановок [math]a_{1},...,a_{n}[/math] чисел [math]1,...,n[/math], для которых [math]a_{i} \ne i[/math] при любом [math]i=1,...,n[/math].
Известно, что [math]D_{n}=n!\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{ (-1)^{i} }{ i! }[/math]. [math]D_{1}=0,D_{2}=1,D_{3}=2,D_{4}=9,D_{5}=44, ...[/math]

Доказать, что число [math]D_{n}[/math] делится на [math]n-1[/math] для любого [math]n > 1[/math].


Автор:  Human [ 31 дек 2016, 20:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: О делимости числа беспорядков

Boris Skovoroda писал(а):
Известно, что [math]D_{n}=n!\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{ (-1)^{i} }{ i! }[/math]


Очевидно, все слагаемые в этой сумме, кроме последних двух, делятся на [math]n-1[/math], а последние два есть

[math]n(-1)^{n-1}+(-1)^n=(-1)^{n-1}(n-1)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/