Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Human |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Сделал десяток численных расчётов и ни один не дал иного результата. Похоже, Ваша гипотеза верная.
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Avgust писал(а): Сделал десяток численных расчётов и ни один не дал иного результата. Это не доказательство. Вспоминаю. что в молодости решал эту задачу и нашёл контрпример. Подробностей не помню. Но вроде идея была такая. Ряд должен быть знакочередующий. Но отношение количества членов со знаком минус к количеству членов со знаком плюс не должно быть постоянным. Допустим, один положительный член, затем два отрицательных, затем опять один положительный член, затем четыре отрицательных и т.д. Причём положительные члены должны так медленно стремиться к нулю, чтобы суммы их кубов расходилась. Отрицательные члены должны быть подобраны так, чтобы исходный ряд сходился. Т.е. сумма отрицательных членов должна расходиться также как и сумма положительных. А вот сумма кубов отрицательных членов ( в отличие от положительных) должна сходиться (за счёт того, что их больше чем положительных). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Human, mad_math |
||
Avgust |
|
|
searcher, ну хорошо, таких рядов будет, скажем, 0.1%. И из-за них все перечеркнуть?
Пускай уж будут редкие исключения. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Avgust писал(а): Сделал десяток численных расчётов и ни один не дал иного результата. А на каких рядах проверяли, если не секрет? searcher писал(а): Ряд должен быть знакочередующий. Но отношение количества членов со знаком минус к количеству членов со знаком плюс не должно быть постоянным. Допустим, один положительный член, затем два отрицательных, затем опять один положительный член, затем четыре отрицательных и т.д. Причём положительные члены должны так медленно стремиться к нулю, чтобы суммы их кубов расходилась. Отрицательные члены должны быть подобраны так, чтобы исходный ряд сходился. Т.е. сумма отрицательных членов должна расходиться также как и сумма положительных. А вот сумма кубов отрицательных членов ( в отличие от положительных) должна сходиться (за счёт того, что их больше чем положительных). В целом идея верная, хотя отношение членов с разными знаками не обязательно должно меняться. Можно построить ряд и с постоянным отношением, например, когда одно положительное слагаемое всегда сменяется двумя отрицательными. А вообще хотелось бы, конечно, увидеть пример такого ряда с объяснением, почему для него все плохо. А лучше, если формулу для общего члена этого ряда можно записать в простом виде, через элементарные функции от [math]n[/math]. Avgust писал(а): ну хорошо, таких рядов будет, скажем, 0.1%. И из-за них все перечеркнуть? В этом случае условия неверного, но в каком-то смысле полезного утверждения корректируют так, чтобы оно стало верным на классе тех объектов, для которых это утверждение хочется иметь. Если только, конечно, это можно сделать, и что даже для переформулированного утверждения не найдется "экзотических" контрпримеров, формально вписывающихся в новые условия. Но тогда проблема уже скорее не в самом утверждении, а в адекватной формализации и классификации нужных для исследования объектов. Другими словами, если Вам какие-то ряды не нравятся, потому что из-за них не работает какое-то утверждение, - придумайте объективные критерии и условия, позволяющие "отделить" эти ряды от "хороших". Если при выполнении полученных условий утверждение оказалось верным, то проблема решена. В математике, насколько я могу судить, чаще наблюдается обратная ситуация: либо условия оказываются слишком ограничивающими, и некоторые "хорошие" объекты из них выпадают (в этом случае приходится разбивать класс "хороших" объектов на хорошо формализуемые подклассы и доказывать утверждение для каждого из этих классов в отдельности; но даже так полную классификацию "хороших" объектов далеко не всегда удается получить), либо "плохие" объекты всегда будут встречаться при новых условиях (тогда имеет смысл задать себе вопрос: а так ли уж эти объекты "плохи"?). А вообще, конечно, с чисто математической точки зрения Ваше возражение весьма удивительно как минимум по двум причинам: 1. Я задал чисто математический вопрос, на который есть четкий бинарный ответ: да или нет. Если да, то есть доказательство того, что утверждение верно для всех рядов, а если нет, то есть хотя бы один ряд, для которого оно неверно. Их "количество" (об этом ниже) не важно. С этой точки зрения ответ на Ваш вопрос: да, нужно перечеркнуть исходное утверждение. А как эту ситуацию исправлять, если есть такое желание (у меня его нет), - смотрите мои соображения выше. 2. Довольно странно говорить о "количестве" рядов, тем более, что их бесконечно много, и еще страннее о том, что из-за того, что таких рядов "мало" в каком-то смысле (например, мощностном, что далеко не факт), они "редкие". Вон, алгебраических чисел всего лишь счетное множество, а трансцендентных - целый континуум. При этом какими из них мы с Вами чаще пользуемся? "Малость" не является признаком "редкости". |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Я взял из Прудникова первые подходящие знакочередующие ряды...
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Avgust писал(а): Я взял из Прудникова первые подходящие знакочередующие ряды... Конкретно для знакочередующихся рядов (то есть тех, у которых слагаемые меняют знак через один) утверждение действительно верно. Если же знаки меняются не строго через один, то такой ряд, строго говоря, не называется знакочередующимся (корректнее называть его "знакопеременным"). Вы такие ряды имели в виду? Не сложно хотя бы парочку конкретных примеров привести? Возможно вы коэффициенты ряда выбрали недостаточно плохо . Я не хочу пока приводить свой контрпример, поскольку надеюсь увидеть что-то от searcher, но он довольно простой (можно даже сказать, студенческий), просто коэффициент подобран специально. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
[math]s_n=2^{-1/3}-2^{-1/3}/2-2^{-1/3}/2+3^{-1/3}-3^{-1/3}/4-3^{-1/3}/4-3^{-1/3}/4-3^{-1/3}/4+...[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Human |
||
Human |
|
|
Human писал(а): Конкретно для знакочередующихся рядов (то есть тех, у которых слагаемые меняют знак через один) утверждение действительно верно. Здесь я ошибся, можно по аналогии с примером searcher построить и знакочередующийся ряд, для которого утверждение неверно. Например: [math]b_n=(3,-2,1,-2,3,-2,1,-2,3,-2,1,-2,\ldots)[/math] - здесь периодически повторяются значения [math]3,-2,1,-2[/math]; [math]c_n=\left(1,1,1,1,\frac1{\sqrt[3]2},\frac1{\sqrt[3]2},\frac1{\sqrt[3]2},\frac1{\sqrt[3]2},...\right)[/math] - здесь каждый член [math]\frac1{\sqrt[3]n}[/math] присутствует 4 раза. Тогда ряд с общим членом [math]a_n=b_nc_n[/math] знакочередующийся, сходится к нулю, но частичные суммы ряда из кубов неограниченны. Последовательность [math]b_n[/math] построена так, чтобы удовлетворялись следующие условия: 1) [math]b_n[/math] периодична с периодом [math]m\in\mathbb{N}[/math] (в данном случае [math]m=4[/math]); 2) [math]\sum_{n=1}^mb_n=0[/math]; 3) [math]\sum_{n=1}^mb^3_n=C\ne0[/math]. Благодаря условиям 1 и 2 частичные суммы ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}b_n[/math] ограничены, что позволяет воспользоваться признаком Дирихле; а благодаря условиям 1 и 3 частичные суммы [math]\sum_{n=1}^{4N}(b_nc_n)^3=C\sum_{n=1}^N\frac1n[/math] неограниченны, так что ряд из кубов расходится. -------------------------------------------------------------- Но это так, к слову. Теперь обещанный мною пример: [math]a_n=\frac{\cos\frac{2\pi n}3}{\sqrt[3]n}[/math] Он удовлетворяет условиям признака Дирихле, так что сам ряд сходится. Но [math]a_n^3=\frac{\cos^3\frac{2\pi n}3}n=\frac{3\cos\frac{2\pi n}3}{4n}+\frac1{4n}[/math] то есть ряд кубов представляет собой сумму сходящегося и расходящегося рядов, так что он расходится. Заметим, кстати, что последовательность [math]b_n=\cos\frac{2\pi n}3[/math] тоже удовлетворяет указанным выше условиям |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
сказал глупость, стер
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Ферма для кубов – 2
в форуме Палата №6 |
14 |
265 |
22 окт 2023, 18:13 |
|
Ферма для кубов
в форуме Теория чисел |
93 |
1072 |
01 окт 2023, 17:58 |
|
Сумма трех кубов | 13 |
34748 |
31 мар 2019, 16:53 |
|
Опять сумма кубов
в форуме Алгебра |
6 |
502 |
19 янв 2018, 07:09 |
|
ВТФ: разность соседних кубов
в форуме Палата №6 |
20 |
1824 |
01 июл 2014, 11:05 |
|
Сумма кубов - для отвода глаз?
в форуме Алгебра |
7 |
532 |
16 янв 2018, 18:08 |
|
Конечная арифметическая прогрессия из кубов
в форуме Алгебра |
3 |
252 |
30 авг 2017, 22:11 |
|
Доказать неравенство суммы кубов
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
1012 |
28 май 2015, 01:25 |
|
ВТФ: разность соседних кубов (вариант 2)
в форуме Палата №6 |
4 |
499 |
01 окт 2014, 10:25 |
|
ВТФ: разность соседних кубов (вариант)
в форуме Палата №6 |
5 |
533 |
22 сен 2014, 13:46 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |