Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2016, 16:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math] сходится. Обязательно ли будет сходится также и ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}a_n^3[/math]?

Сразу скажу, что задача имеет отношение к найденной мной недавно в интернете: http://falcao.livejournal.com/315647.html. Комментарии с решениями там пока скрыты :) Мое решение же существенно опирается на результат предлагаемой мною сейчас задачи. Так что если кто-то решит мою задачу, то предлагаю также подумать и над задачей по ссылке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2016, 19:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сделал десяток численных расчётов и ни один не дал иного результата. Похоже, Ваша гипотеза верная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2016, 20:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Сделал десяток численных расчётов и ни один не дал иного результата.

Это не доказательство. Вспоминаю. что в молодости решал эту задачу и нашёл контрпример. Подробностей не помню. Но вроде идея была такая. Ряд должен быть знакочередующий. Но отношение количества членов со знаком минус к количеству членов со знаком плюс не должно быть постоянным. Допустим, один положительный член, затем два отрицательных, затем опять один положительный член, затем четыре отрицательных и т.д. Причём положительные члены должны так медленно стремиться к нулю, чтобы суммы их кубов расходилась. Отрицательные члены должны быть подобраны так, чтобы исходный ряд сходился. Т.е. сумма отрицательных членов должна расходиться также как и сумма положительных. А вот сумма кубов отрицательных членов ( в отличие от положительных) должна сходиться (за счёт того, что их больше чем положительных).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Human, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2016, 23:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, ну хорошо, таких рядов будет, скажем, 0.1%. И из-за них все перечеркнуть?
Пускай уж будут редкие исключения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2016, 18:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Сделал десяток численных расчётов и ни один не дал иного результата.

А на каких рядах проверяли, если не секрет?
searcher писал(а):
Ряд должен быть знакочередующий. Но отношение количества членов со знаком минус к количеству членов со знаком плюс не должно быть постоянным. Допустим, один положительный член, затем два отрицательных, затем опять один положительный член, затем четыре отрицательных и т.д. Причём положительные члены должны так медленно стремиться к нулю, чтобы суммы их кубов расходилась. Отрицательные члены должны быть подобраны так, чтобы исходный ряд сходился. Т.е. сумма отрицательных членов должна расходиться также как и сумма положительных. А вот сумма кубов отрицательных членов ( в отличие от положительных) должна сходиться (за счёт того, что их больше чем положительных).

В целом идея верная, хотя отношение членов с разными знаками не обязательно должно меняться. Можно построить ряд и с постоянным отношением, например, когда одно положительное слагаемое всегда сменяется двумя отрицательными.

А вообще хотелось бы, конечно, увидеть пример такого ряда с объяснением, почему для него все плохо. :)
А лучше, если формулу для общего члена этого ряда можно записать в простом виде, через элементарные функции от [math]n[/math].
Avgust писал(а):
ну хорошо, таких рядов будет, скажем, 0.1%. И из-за них все перечеркнуть?

В этом случае условия неверного, но в каком-то смысле полезного утверждения корректируют так, чтобы оно стало верным на классе тех объектов, для которых это утверждение хочется иметь. Если только, конечно, это можно сделать, и что даже для переформулированного утверждения не найдется "экзотических" контрпримеров, формально вписывающихся в новые условия.
Но тогда проблема уже скорее не в самом утверждении, а в адекватной формализации и классификации нужных для исследования объектов. Другими словами, если Вам какие-то ряды не нравятся, потому что из-за них не работает какое-то утверждение, - придумайте объективные критерии и условия, позволяющие "отделить" эти ряды от "хороших". Если при выполнении полученных условий утверждение оказалось верным, то проблема решена.

В математике, насколько я могу судить, чаще наблюдается обратная ситуация: либо условия оказываются слишком ограничивающими, и некоторые "хорошие" объекты из них выпадают (в этом случае приходится разбивать класс "хороших" объектов на хорошо формализуемые подклассы и доказывать утверждение для каждого из этих классов в отдельности; но даже так полную классификацию "хороших" объектов далеко не всегда удается получить), либо "плохие" объекты всегда будут встречаться при новых условиях (тогда имеет смысл задать себе вопрос: а так ли уж эти объекты "плохи"?).

А вообще, конечно, с чисто математической точки зрения Ваше возражение весьма удивительно как минимум по двум причинам:

1. Я задал чисто математический вопрос, на который есть четкий бинарный ответ: да или нет. Если да, то есть доказательство того, что утверждение верно для всех рядов, а если нет, то есть хотя бы один ряд, для которого оно неверно. Их "количество" (об этом ниже) не важно. С этой точки зрения ответ на Ваш вопрос: да, нужно перечеркнуть исходное утверждение. А как эту ситуацию исправлять, если есть такое желание (у меня его нет), - смотрите мои соображения выше.

2. Довольно странно говорить о "количестве" рядов, тем более, что их бесконечно много, и еще страннее о том, что из-за того, что таких рядов "мало" в каком-то смысле (например, мощностном, что далеко не факт), они "редкие". Вон, алгебраических чисел всего лишь счетное множество, а трансцендентных - целый континуум. При этом какими из них мы с Вами чаще пользуемся? "Малость" не является признаком "редкости".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2016, 03:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я взял из Прудникова первые подходящие знакочередующие ряды...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2016, 15:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Я взял из Прудникова первые подходящие знакочередующие ряды...

Конкретно для знакочередующихся рядов (то есть тех, у которых слагаемые меняют знак через один) утверждение действительно верно. Если же знаки меняются не строго через один, то такой ряд, строго говоря, не называется знакочередующимся (корректнее называть его "знакопеременным"). Вы такие ряды имели в виду?

Не сложно хотя бы парочку конкретных примеров привести? Возможно вы коэффициенты ряда выбрали недостаточно плохо :) .

Я не хочу пока приводить свой контрпример, поскольку надеюсь увидеть что-то от searcher, но он довольно простой (можно даже сказать, студенческий), просто коэффициент подобран специально.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2016, 15:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]s_n=2^{-1/3}-2^{-1/3}/2-2^{-1/3}/2+3^{-1/3}-3^{-1/3}/4-3^{-1/3}/4-3^{-1/3}/4-3^{-1/3}/4+...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 29 ноя 2016, 13:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Конкретно для знакочередующихся рядов (то есть тех, у которых слагаемые меняют знак через один) утверждение действительно верно.

Здесь я ошибся, можно по аналогии с примером searcher построить и знакочередующийся ряд, для которого утверждение неверно. Например:

[math]b_n=(3,-2,1,-2,3,-2,1,-2,3,-2,1,-2,\ldots)[/math] - здесь периодически повторяются значения [math]3,-2,1,-2[/math];

[math]c_n=\left(1,1,1,1,\frac1{\sqrt[3]2},\frac1{\sqrt[3]2},\frac1{\sqrt[3]2},\frac1{\sqrt[3]2},...\right)[/math] - здесь каждый член [math]\frac1{\sqrt[3]n}[/math] присутствует 4 раза.

Тогда ряд с общим членом [math]a_n=b_nc_n[/math] знакочередующийся, сходится к нулю, но частичные суммы ряда из кубов неограниченны.

Последовательность [math]b_n[/math] построена так, чтобы удовлетворялись следующие условия:

1) [math]b_n[/math] периодична с периодом [math]m\in\mathbb{N}[/math] (в данном случае [math]m=4[/math]);

2) [math]\sum_{n=1}^mb_n=0[/math];

3) [math]\sum_{n=1}^mb^3_n=C\ne0[/math].

Благодаря условиям 1 и 2 частичные суммы ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}b_n[/math] ограничены, что позволяет воспользоваться признаком Дирихле; а благодаря условиям 1 и 3 частичные суммы [math]\sum_{n=1}^{4N}(b_nc_n)^3=C\sum_{n=1}^N\frac1n[/math] неограниченны, так что ряд из кубов расходится.

--------------------------------------------------------------

Но это так, к слову. Теперь обещанный мною пример:

[math]a_n=\frac{\cos\frac{2\pi n}3}{\sqrt[3]n}[/math]

Он удовлетворяет условиям признака Дирихле, так что сам ряд сходится. Но

[math]a_n^3=\frac{\cos^3\frac{2\pi n}3}n=\frac{3\cos\frac{2\pi n}3}{4n}+\frac1{4n}[/math]

то есть ряд кубов представляет собой сумму сходящегося и расходящегося рядов, так что он расходится.

Заметим, кстати, что последовательность [math]b_n=\cos\frac{2\pi n}3[/math] тоже удовлетворяет указанным выше условиям :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?
СообщениеДобавлено: 04 дек 2016, 15:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
сказал глупость, стер

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ферма для кубов – 2

в форуме Палата №6

7alek7

14

265

22 окт 2023, 18:13

Ферма для кубов

в форуме Теория чисел

7alek7

93

1072

01 окт 2023, 17:58

Сумма трех кубов

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

bimol

13

34748

31 мар 2019, 16:53

Опять сумма кубов

в форуме Алгебра

alekscooper

6

502

19 янв 2018, 07:09

ВТФ: разность соседних кубов

в форуме Палата №6

Markopolo

20

1824

01 июл 2014, 11:05

Сумма кубов - для отвода глаз?

в форуме Алгебра

alekscooper

7

532

16 янв 2018, 18:08

Конечная арифметическая прогрессия из кубов

в форуме Алгебра

johnson

3

252

30 авг 2017, 22:11

Доказать неравенство суммы кубов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mathhelp

4

1012

28 май 2015, 01:25

ВТФ: разность соседних кубов (вариант 2)

в форуме Палата №6

Markopolo

4

499

01 окт 2014, 10:25

ВТФ: разность соседних кубов (вариант)

в форуме Палата №6

Markopolo

5

533

22 сен 2014, 13:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved