Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на построение
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2016, 13:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение задачи знаю, но вот на основании каких теорем и тд и тп не знаю, когда решите, тогда и подскажете.
Задано 2 пересекающихся под острым углом прямых и точка.
Построить все возможные квадраты, таким образом, что бы 2 вершины квадрата принадлежали прямым, а 3ья точке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2016, 23:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Раз нету желающих, выкладываю решение. Специально для Августа.

Задача была получена при рассмотрении старой задачи про квадрат вписанный в острый угол, при условии что одна из вершин закреплена в произвольно расположенной точке. При замене угла прямыми, на мой взгляд, она стала интересней.
Задачу можно решать аналитически, но это не так интересно.
Самое интересное что ГМТ расположение вершин квадратов, зависит только от того каким образом расположена точка относительно одной из прямых.
Такое решение дает возможность проанализировать возможность построения всех 6 квадратов. Благодаря нему видно что частные случаи это пересечения прямых под 45, 90, 135 градусов, в это случае возможно построить лишь четыре квадрата.
Построение в спойлере:

Рис. 1.
Определим ГМТ для вершин квадратов. У квадрата 4 вершины, 1 вершина закреплена в точке. Значит квадрат может касаться прямой 3мя различными вершинами. Построим ГМТ для каждого из вариантов.
Каким бы мы образом не построили квадрат при условии закрепления одной вершины в точке, и второй вершине принадлежащей прямой, 3 и 4я вершины будут находиться на линиях ГМТ.
Изображение
Рис. 2.
Отобразим ГМТ для всех вариантов касания квадрата на одном рисунке.
Изображение
Рис. 3.
Проанализируем полученные ГМТ, видим что все лучи расположены под углом 45 и 90 градусов к прямой.
Прямые ГМТ расположенные под углом 45 градусов пересекаются в точка A' и O, А' зеркальная проекция точки А. Так же отчетливо виден главный квадрат и 4 маленьких квадрата. Размеры которых зависят только от расстояния точки от прямой.
Изображение
Рис. 4.
Проведем произвольную произвольную прямую и при помощи полученных прямых ГМТ построим 6 квадратов которые будут удовлетворять условию задачи.
Изображение

Интересное наблюдение, что каким бы образом мы не построили квадраты, окружности описанные вокруг них пройдут не только через заданную точку но и через (Рассмотрим квадрат. Будем рассматривать вершины по часовой стрелке, при условии что первая закреплена в заданной точке) :
1. Квадрат касается прямой 2й вершиной. Каким бы мы образом не построили квадрат, окружность описанная вокруг него, пройдет через точку С.
2. Квадрат касается прямой 3й вершиной. Каким бы мы образом не построили квадрат, окружность описанная вокруг него, пройдет через точку О.
3. Квадрат касается прямой 4й вершиной. Каким бы мы образом не построили квадрат, окружность описанная вокруг него, пройдет через точку В.
То есть мы сразу имеем хорду описанной окружности, вокруг искомого квадрата.
Из этого наблюдения мы получаем еще один способ построения, он менее удобен чем предыдущий, но тем не менее это еще одно геометрическое решение.
1. Проводим через полученные 3 хорды (АВ, АО, АС) прямые совпадающие с серединными перпендикулярами.
2. Проводим аналогичные построения для второй прямой.
3. На пересечении прямых получаем центры окружностей описанных вокруг искомых квадратов.
4. Из центра строим окружности, так как есть аж 4 точки.
Центр описанной окружности является так же и точкой пересечения диагоналей искомых квадратов.
Построить квадрат не составим сложности, так как вершины будут находиться в точках пересечения окружности прямых и в заданной точке.
Кроме истинных 6 квадратов, мы получим еще и ложные, которые будут двумя вершинами касаться одной из прямых.
В принципе можно вывести закономерность, какие именно серединные перпендикуляры пересекать с другими, но я не стал заморачиваться, проще откинуть ложные результаты. Учитывая то, что решение не удобно и грамоздко.
Изображение

При решении данной задачи была получена интересная закономерность:
Если одна из точек любой фигуры закреплена, при этом мы начинаем двигать эту фигуру по прямой другой пропорционально расположенной точкой, то любая другая пропорционально расположенная точка принадлежащая данной прямой будет перемещаться по прямой. ГМТ которой можно определить произведя два построения указанной фигуры при различном расположении второй точки на прямой, соединив расположения третьей точки. Полученная прямая будет ГМТ для любого расположения фигуры при дальнейшем перемещении по прямой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2016, 00:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень интересно! Осталось только аналитически получить координаты вершин двух квадратов в функции от точки вращения квадратов и положения двух пересекающихся прямых. Это довольно муторно, но можно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2016, 10:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Очень интересно! Осталось только аналитически получить координаты вершин двух квадратов в функции от точки вращения квадратов и положения двух пересекающихся прямых. Это довольно муторно, но можно.

При помощи данного геометрического решения можно проанализировать кол-во построенных правильных n-угольников удовлетворяющих заданным условиям.
Их будет (n-1)*2 (если квадрат в условии задачи заменить правильным n-угольником).
Или к примеру решить аналогичную задачу, но усложненную.
Дана произвольная точка, произвольная прямая и произвольная окружность. Построить все возможные квадраты удовлетворяющие условию: одна вершина находится в точке, вторая принадлежит прямой, а третья принадлежит окружности.

А учитывая тот факт, что при движении прямой (либо фигуры) по любой другой прямой (либо фигуре) то любая пропорционально расположенная на данной прямой (фигуре) точка имеет ГМТ аналогичное прямой (фигуре) по которой она движется. К примеру таким образом можно построить, к примеру квадраты одна из вершин которых будет принадлежать заданной точке, а две других двум окружностям) как частный случай вписать квадрат таким образом, что бы он касался точки и двух окружностей своими вершинами.
1. Определяем ГМТ для каждой вершины. В нашем случае это будут окружности, то есть достаточно выполнить 3 построения для каждой вершины, а потом через 2 свободных вершины провести окружности (по 3 точкам) они и будут ГМТ для вершин.
Рис.1. Вариант построения ГМТ для 2 вершины.
Изображение
2. По точкам пересечения окружностей ГМТ с второй заданной окружностью строим наши квадраты.
Изображение
3. Повторяем процедуру построения ГМТ для 3 и 4 вершины для первой заданной окружности.
Для каждоый из вершин будет 2 окружности ГМТ. То есть каждая из вершин даст 0, 1, 2, 3 либо 4 решения.
В общем случае возможно построить от 0 до 12 удовлетворяющим заданному условию квадратов.

Что интересно, порылся в интернете, не нашел соответствующего раздела геометрии, думал может тут подскажут, но пока глухо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2016, 13:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кроме того, при построении квадратов которые касаются двух окружностей, если вокруг квадратов построенных при помощи ГМТ для n вершины, описать окружности, то центры этих 4рех окружностей будут находиться на одной окружности, центр которой, в свою очередь будет центром окружности которая проходит через заданную точку и центр окружности на которой мы выполняли построение (то есть первой заданной.)

Проанализировав ГМТ для вершин квадратов при первой вершине закрепленной в точке, в второй перемещающейся по окружности, мы снова видим наши квадраты))) И снова получаем очень красивое общее распределение ГМТ. Рисунок получается действительно очень красивым. Выкладываю в спойлере.
ЗЫ. Правда окружности не касаются, думаю можно найти такое расстояние от центра окружности, до точки, при котором все эти окружности будут еще и касаться между собой, но безусловно это будет частный случай.
Изображение

Интересное наблюдение, что если перемещать по окружности 2 и 4ю вершины, то для 4й и 2й соответственно вершин, ГМТ всегда будет окружностью того же радиуса, что и та окружность по которой перемещается наш квадрат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2016, 15:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это наблюдение дает нам возможность построить ГМТ для всех возможных вершин квадратов без промежуточных построений, вот этот способ.
Рис.1.
Изображение
Рис.2. Получили ГМт наших вершин даже с разбивкой по цвету, в зависимости от того какая из вершин движется по окружности.
Изображение

Не удержался посчитал какими должны быть соотношения радиусов ГМТ, что бы вся эта красота касалась друг дружки.
R=sqrt2-1
Rгмт1=R
Rгмт2=sqrt2R=sqrt[2(sqrt2-1)]
Rгмт3=1-R=2-sqrt2
Расстояние ОА=1.
При таких радиусах вся картина начинает касаться друг дружку.
Rгмт2/Rгмт1=sqrt2 такое соотношение будет справедливо всегда.
При ОА=L
Rгмт3=L/sqrt2-sqrt(1-R)
На такую "мощную" аналитику даже меня хватило)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2016, 16:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поправка
Rгмт3=R/sqrt2, так же всегда будет для любого расположения точки относительно окружности.
Имеем:
R - радиус заданной окружности.
Rгмт1=R
Rгмт2=R*sqrt2
Rгмт3=R/sqrt2
Построение ГМТ, при условии касания окружностей.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построение равнобедренной трапеции - задача на построение

в форуме Геометрия

maksim03

15

755

29 апр 2022, 10:25

Задача на построение

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Race

4

559

12 ноя 2016, 13:32

Задача на построение

в форуме Геометрия

cincinat

3

541

24 дек 2015, 10:31

Задача на построение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ELENA ASELBAEVA

0

302

13 дек 2015, 09:30

Задача на построение

в форуме Геометрия

Semen Bronza

2

529

13 июн 2014, 17:58

Задача на построение

в форуме Геометрия

Race

14

499

22 апр 2019, 11:01

Задача на построение

в форуме Геометрия

Andreww

5

455

29 мар 2018, 23:03

Задача на построение

в форуме Геометрия

v_i_t_a_l_0012

3

308

22 дек 2019, 16:54

Задача на построение

в форуме Геометрия

v_i_t_a_l_0012

2

208

22 дек 2019, 16:18

Задача на построение

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

10

1781

31 май 2014, 07:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved