Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 22 окт 2016, 19:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D
Теоретически мне удалось решить только для равнобедренных треугольников. И то - только для трех частных случаев, причем каждый такой частный случай тоже частный (принят вертикальный луч проходящий через вершину B. Объять миллионы вариантов даже для равнобедр. тр. так и не удалось. Вот программа справляется легко. Столько всего понастроил, что глаза разбегаются. Будет время, напишу подробно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 23 окт 2016, 00:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начну с самого красивого и классического - равностороннего треугольника. Потом буду увеличивать высоту его, сохраняя основание [math]b[/math]. Итак:
Изображение

При увеличенной высоте [math]h[/math] имеем такое решение:
Изображение

Завтра продолжу ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 23 окт 2016, 21:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Продолжаю свое исследование.

Третий случай, когда мерседес делит равнобедренный треугольник на треугольный элемент и два четырехугольные:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 24 окт 2016, 02:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все три части - четырехугольники:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 24 окт 2016, 23:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1 треугольник, 1 четырехугольник, 1 пятиугольник:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 26 окт 2016, 18:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Последний вариант сделан по проге (по запросу насчет величины a1 ввел значение -1):

rem Прорамма нахождения центра  мерседеса внутри треугольника.
rem Мерс делит треугольник на 3 равновеликие фигуры (внизу треугольник).
s=10^20:z=0.0001
print "INPUT a1 = ";:input a1
xb=4.5:yb=2:xa=5:ya= 0:yc=0:yk=0
xm0=2.5:ym0=.75
ss=1/2*xa*yb
for j=1 to 5000000
xm=xm0*(1+z*(ran()-.5))
ym=ym0*(1+z*(ran()-.5))
a2=-1/tan(atan(a1)+(1/6)*pi)
a3=tan(atan(a1)-2*pi*(1/3))
xd=xb*(-a2*xm+ym)/(-a2*xb+yb)
rem if xd>=0 then
yd=yb*xd/xb
rem if yd<=yb then
xk=(a1*xm-ym)/a1
rem if xk>=0 then
xc=(a3*xm-ym)/a3
rem if xc>=0 then
rem if xc<=xa then
s1=1/2*((xc-xm)*(ym+yc)+(xm-xd)*(ym+yd)+(xd+0)*(yd+0))
s2=1/2*((xa-xb)*(ya+yb)+(xb-xd)*(yb+yd)+(xd-xm)*(ym+yd)+(xm-xk)*(yk+ym))
s3=1/2*((xk-xm)*(yk+ym)+(xm-xc)*(ym+yc))
F=abs(s1-ss/3)+abs(s2-ss/3)+abs(s3-ss/3)
if F<=s then s=F
print xd,yd,xk,yk,xc,xm,ym,F
a10=a1:xm0=xm:ym0=ym
s1k=s1:s2k=s2:s3k=s3:a1k=a1:a2k=a2:a3k=a3
if F<=0.001 then z=1/10^4:fi
if F<=1/10^5 then z=1/10^9:fi
rem fi:fi:fi:fi:fi
fi
next j
print
print s1k,s2k,s3k
print a1k,a2k,a3k
print
print


Таким образом, количество вариантов бесконечно. Есть ограничения на параметр a1 , поскольку много таких конфигураций треугольника, что разрезать на равные площади не удается. Задача потрясающе интересная, но жаль, что никак не удается найти общее теоретическое представление координат точки М.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 28 окт 2016, 15:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Общий подход к задаче (см. рисунок):

Изображение

Пусть углы между лучами заданы не обязательно по 120°, а произвольными, дающими в сумме 360° (например 100°, 110° и 150°). Площади четырехугольников, на которые лучи [OE), [OF), [OQ) делят треугольник ABC, тоже могут быть не равными.
Требуется найти положение начала лучей – точки O в зависимости от угла между каким либо лучом и стороной треугольника.
Допустим, в зависимости от угла ASE.

Решение.
Обозначим через he, hf, ho расстояние между точками E, F, O и прямой AC.
Пусть прямые OE и OF пересекаются с прямой AC в точках S и T.
Рассмотрим треугольники ASE и QSO. Все их углы легко находятся.
Поэтому можно записать: [math]\left|{AS}\right| = he \cdot ke[/math], где ke –постоянный коэффициент, который зависит только от углов треугольника ASE.
То есть [math]ke = ctg(BAC) + ctg(ASE)[/math].
По аналогии можно записать ещё три пропорции:
[math]\left|{CT}\right| = hf \cdot kf;\;\left|{QS}\right| = ho \cdot ks;\;\left|{QT}\right| = ho \cdot kt[/math].
Последние три коэффициента зависят от углов между лучами.
Если углы равны по 120°, то:
[math]kf = ctg(ACB) + ctq(\frac{\pi}{3}- ASE);\;ks = - ctg(\frac{\pi}{3}+ ASE) + ctg(ASE);\;kt = ctg(\frac{\pi}{3}- ASE) + ctg(\frac{\pi}{3}+ ASE)[/math].

Перейдём к площадям фигур: [math]{S_{AEOQ}}= \frac{1}{2}he \cdot \left|{AS}\right| - \frac{1}{2}ho \cdot \left|{QS}\right|[/math]; [math]{S_{CFOQ}}= \frac{1}{2}hf \cdot \left|{CT}\right| - \frac{1}{2}ho \cdot \left|{QT}\right|[/math].
С учётом пропорций выше получим:
[math]{S_{AEOQ}}= \frac{{ke}}{2}h{e^2}- \frac{{ks}}{2}h{o^2}[/math] (1);

[math]{S_{CFOQ}}= \frac{{kf}}{2}h{f^2}- \frac{{kt}}{2}h{o^2}[/math] (2).

В тоже время: [math]\left|{AC}\right| = \left|{AS}\right| + \left|{CT}\right| - \left|{QS}\right| - \left|{QT}\right| = he \cdot ke + hf \cdot kf - ho \cdot (ks + kt)[/math] (3).

В левой части (1), (2), (3) – известные величины, как и коэффициенты k... в правой.
В случае равенства площадей: [math]{S_{AEOQ}}={S_{CFOQ}}= \frac{{{S_{ABC}}}}{3}= \frac{{{{\left|{AC}\right|}^2}}}{{6\left({ctg\left({BAC}\right) + ctg\left({ACB}\right)}\right)}}[/math].

Имеем три уравнения относительно трёх неизвестных he, hf, ho.
Систему можно свести к уравнению четвёртой степени относительно одной из неизвестной, например ho.
Зная ho, из (1) легко найти he, затем - положение точки E и, наконец, O.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 28 окт 2016, 16:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, я тоже пробовал подобную геометрию, но Вы более виртуозный специалист.
Осталось, правда, самое мвлое - решить уравнение. Например, придумать уникальный циркуль :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 28 окт 2016, 22:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, в качестве "уникального циркуля" можно использовать электронные счеты! :Yahoo!:
Вот код расчета на точном калькуляторе с помощью конечного алгоритма:
/*Заданные углы и длина стороны AC*/
BAC=65;
ACB=50;
ASE=22;
AC=1000;
/*Коэффициенты системы уравнений*/
ke=cotg(BAC)+cotg(ASE);
kf=cotg(ACB)+cotg(60-ASE);
ks=-cotg(60+ASE)+cotg(ASE);
kt=cotg(60-ASE)+cotg(60+ASE);
AREA=AC^2/6/(cotg(BAC)+cotg(ACB));
/*Вспомогательные переменные для расчета коэффициентов уравнения 4-ой степени*/
e1=ke*ks/(ks+kt)^2;
e2=kf*kt/(ks+kt)^2;
e3=1-e1-e2;
e4=e3^2-4*e1*e2;
f1=2*ke*AREA/AC^2;
f2=2*kf*AREA/AC^2;
f3=1-f1-f2;
/*Коэффициенты уравнения 4-ой степени */
a=4*e3/e4;
b=(2*e3*f3+4*(1-e1*f2-e2*f1))/e4;
c=4*f3/e4;
d=(f3^2-4*f1*f2)/e4;
/*Нахождение корней уравнения 4-ой степени x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d=0*/
/*Коэффициенты резольвенты*/
a1=-b;a2=a*c-4*d;a3=d*(4*b-a*a)-c*c;
/*Действительный корень резольвенты*/
p=a1*a1/9-a2/3;q=a3/2+(p-a2/6)*a1/3;dt=q*q-p^3;
y=if(dt<0,2*sqrt(p)*cos(arccos(-q/p/sqrt p)/3),3#(sqrt dt-q)-3#(sqrt dt+q))-a1/3;
/*Радикалы - слагаемые коэффициентов квадратных уравнений*/
r1=sqrt(y-b+a*a/4);r2=if(y*a/4-c/2>0,1,-1)*sqrt(y*y/4-d);
i=1;
LB0:
/*Коэффициенты и дискриминанты квадратных уравнений*/
k1=a/2+i*r1;
k2=y/2+i*r2;
ds=sqrt(k1*k1/4-k2);
if(i>0,i=-1,goto END);
/*Корни биквадратного уравнения 1*/
x1=-k1/2+ds;
x2=-k1/2-ds;
goto LB0;
END:
/*Корни биквадратного уравнения 2*/
x3=-k1/2+ds;
x4=-k1/2-ds;
/*Размерность*/
kh=AC/(ks+kt);
/*Матрица искомых высот*/
rowsforeach(x,(x1,x2,x3,x4),
((ho=kh*x),
if(abs(AREA-kf*(hf=(AC-ke*(he=sqrt((2*AREA+ks*ho^2)/ke))+(ks+kt)*ho)/kf)^2/2+kt*ho^2/2)<1E-50,
(he,hf),
((he=-he),(hf=hf-2*ke*he/kf))
)
,AREA-kf*hf^2/2+kt*ho^2/2 /*Проверка: если 0, то норма*/
))

Здесь углы треугольника задаются в градусах, поэтому в калькуляторе нужно поставить соответствующий флажок.

Получается такая матрица из строк (ho,he,hf,test):
(-211.302778586319, 349.641457802085, -387.855315459816, 0 \
-347.882696031104, -427.628101411176, 449.030197611021, 0 \
1286.2714227707, 1183.19995448773, 1108.86372111999, 0 \
251.228126248545, 370.008014610345, 403.498148817244, 0)


Главное выбрать нужное.
Например, последняя строка соответствует следующему разбиению:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник и внутри крест
СообщениеДобавлено: 29 окт 2016, 00:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Взял за основу Ваш треугольник, программа:

rem Программа нахождения центра  мерседеса внутри треугольника.
rem Мерс делит треугольник на 3 равновеликие фигуры.
s=10^20:z=0.01
a1=0.7812856
xm0=290:ym0=250
xb=357.21239:yb=766.04444:xa=1000
ss=1/2*xa*yb
for j=1 to 5000000
xm=xm0*(1+z*(ran()-.5))
ym=ym0*(1+z*(ran()-.5))
a2=-1/tan(atan(a1)+(1/6)*pi)
a3=tan(atan(a1)-2*pi*(1/3))
xd=xb*(-a2*xm+ym)/(-a2*xb+yb)
if xd>=0 then
yd=yb*xd/xb
if yd<=yb then
xk=(a1*xm*(-xb+xa)+(yb-ym)*xa+ym*xb)/(a1*(-xb+xa)+yb)
yk=a1*xk-a1*xm+ym
if yk<=yb then
if yk>=0 then
xc=(a3*xm-ym)/a3
if xc>=0 then
if xc<=xa then
s1= 1/2*((xc-xm)*ym+(xm-xd)*(ym+yd)+xd*yd)
s2= 1/2*((xd-xm)*(ym+yd)+(xm-xk)*(ym+yk)+(xk-xb)*(yk+yb)+(xb-xd)*(yb+yd))
s3= 1/2*((xa-xk)*yk+(xk-xm)*(ym+yk)+ym*(xm-xc))
F=abs(s1-ss/3)+abs(s2-ss/3)+abs(s3-ss/3)
if F<=s then s=F
print xd,yd,xk,yk,xc,xm,ym,F
a10=a1:xm0=xm:ym0=ym
s1k=s1:s2k=s2:s3k=s3:a1k=a1:a2k=a2:a3k=a3
if F<=0.001 then z=1/10^4:fi
if F<=1/10^5 then z=1/10^9:fi
fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi
next j
print
print s1k,s2k,s3k
print a1k,a2k,a3k
print
print



Изображение
Площади равны, углы 120, Центр O(467 ; 251). За основу принял a1=tg(38)=0.7812856

[math]h_f=404\, ; \quad h_e=370[/math]

Все совпало!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.  Страница 5 из 6 [ Сообщений: 52 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Треугольник и точка О внутри

в форуме Геометрия

Avgust

2

204

30 авг 2021, 20:09

Треугольник и точка внутри него

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Avgust

20

2080

07 апр 2014, 00:41

Кейнсианский крест

в форуме Экономика и Финансы

natalee

0

1659

08 май 2015, 18:43

Какой смысл в сокращении дробей крест на крсет при * или /?

в форуме Алгебра

zero_0_0_0_0

3

78

25 ноя 2023, 13:46

В треугольник вписать подобный ему треугольник

в форуме Геометрия

ferma-T

6

344

26 апр 2021, 19:55

Циркуль внутри сферы

в форуме Палата №6

3axap

136

2943

01 ноя 2016, 10:54

Точка внутри квадрата

в форуме Геометрия

FEBUS

10

775

20 апр 2020, 20:33

Точка внутри шестиугольника

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

chebo

1

779

30 май 2017, 13:57

Окружность с ромбом внутри

в форуме Геометрия

sfanter

1

341

05 апр 2015, 22:18

Точка внутри треугольника

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

chebo

2

610

17 фев 2017, 16:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved