Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача №5
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=49931
Страница 1 из 3

Автор:  andrei [ 21 авг 2016, 13:09 ]
Заголовок сообщения:  Задача №5

Изображение

Автор:  vorvalm [ 21 авг 2016, 15:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

*

Автор:  Nataly-Mak [ 21 авг 2016, 21:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

А интересное решение выдаёт Вольфрам для уравнения

[math]2^z = 7 (2 k+1)^2+(2 m+1)^2[/math]

Это так... мысли вслух :)

Автор:  ivashenko [ 21 авг 2016, 21:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

Nataly-Mak писал(а):
А интересное решение выдаёт Вольфрам для уравнения

[math]2^z = 7 (2 k+1)^2+(2 m+1)^2[/math]

Это так... мысли вслух :)


Это пока ещё не мысли - это всего-лишь запись условия :D1

Автор:  Nataly-Mak [ 21 авг 2016, 22:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

ivashenko писал(а):
Nataly-Mak писал(а):
А интересное решение выдаёт Вольфрам для уравнения

[math]2^z = 7 (2 k+1)^2+(2 m+1)^2[/math]

Это так... мысли вслух :)


Это пока ещё не мысли - это всего-лишь запись условия :D1

А решение уравнения в Вольфраме поглядели???
Вот поглядите тогда уж :D1
Относительно переменной z решение. Очень интересное! Ага.

Между прочим, очевидное, конечно:
при [math]k=m=0[/math] получаем [math]z=3[/math].
Можно рассмотреть отдельно [math]k=0[/math] и [math]m=0[/math].

Это так... тоже не решение задачи, разумеется, а мысли вслух ;)

Автор:  ivashenko [ 22 авг 2016, 02:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

Может быть как-то из этого что-то можно выудить:
[math]2^n=7(2^{n-3})+1(2^{n-3})=7(2^{n-4})+9(2^{n-4})=7(2^{n-5})+25(2^{n-5})=7(2^{n-6})+57(2^{n-6})=...=7(2^{n-(n-1)})+(2^n-7)^{n-(n-1)}[/math]


Среди этих выражений обязательно найдется такое, в котором степень двойки будет кратна 2, т.е. из неё обязательно можно будет извлечь корень квадратный, который будет целым числом. Но это конечно не решение задачи. Ну да, вообще это относится только к четным x,y а по условию они нечетные.

[math]2^n=7(2^{n-3}+1)+1(2^{n-3}-7)=7(2^{n-4}+1)+(9(2^{n-4})-7)=7(2^{n-5}+1)+(25(2^{n-5})-7)=7(2^{n-6}+1)+(57(2^{n-6})-7)=...=7(2^{n-(n-1)}+1)+((2^n-7)^{n-(n-1)})-7[/math]


Не это бред.

Автор:  andrei [ 22 авг 2016, 09:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

Эта задача из записных книжек Л.Эйлера. :)
Через пару дней выложу свою попытку доказательства.

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2016, 09:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

Для начала надо решить сравнение

[math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math]

Автор:  vorvalm [ 22 авг 2016, 12:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

vorvalm писал(а):
Для начала надо решить сравнение

[math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math]

Например, при [math]x=1[/math]
[math]2^{6m}\equiv 1\pmod 7,\;\;m\in N.[/math]
Это сравнение решается и при [math]x^2=14t+1,\;t\in N.(169,225,...)[/math]

Автор:  swan [ 22 авг 2016, 14:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача №5

Пусть [math]x[/math] и [math]y[/math] - нечетные целые числа.
[math]7x^2+y^2=N[/math]

Имеем тождества
[math]7(x-y)^2+(7x+y)^2=8(7x^2+y^2)[/math]
[math]7(x+y)^2+(7x-y)^2=8(7x^2+y^2)[/math]

Если [math]x[/math] и [math]y[/math] дают при делении на 4 одинаковый остаток, то полагаем
[math]x'=\frac{x+y}2, \quad y'=\frac{|7x-y|}2[/math]
Если разный, то
[math]x'=\frac{|x-y|}2, \quad y'=\frac{7x+y}2[/math]

Тогда [math]x', y'[/math] - нечетны и
[math]7x'^2+y'^2=2N[/math]

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/