Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 22 авг 2016, 16:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Пусть [math]x[/math] и [math]y[/math] - нечетные целые числа.
[math]7x^2+y^2=N[/math]

Имеем тождества
[math]7(x-y)^2+(7x+y)^2=8(7x^2+y^2)[/math]
[math]7(x+y)^2+(7x-y)^2=8(7x^2+y^2)[/math]

Если [math]x[/math] и [math]y[/math] дают при делении на 4 одинаковый остаток, то полагаем
[math]x'=\frac{x+y}2, \quad y'=\frac{|7x-y|}2[/math]
Если разный, то
[math]x'=\frac{|x-y|}2, \quad y'=\frac{7x+y}2[/math]

Тогда [math]x', y'[/math] - нечетны и
[math]7x'^2+y'^2=2N[/math]


Не понимаю, как из этого следует факт существования разложения степени двойки: [math]7x^2+y^2=2^N[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 22 авг 2016, 17:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Например, при x=1
x=1

26m≡1(mod7),m∈N.
26m≡1(mod7),m∈N.

Это сравнение решается и при x2=14t+1,t∈N.(169,225,...)

Т.к.
[math]2^3\equiv 1\pmod 7[/math], то
[math]2^{3m}\equiv 1 \pmod 7[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 27 авг 2016, 12:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Эта задача из записных книжек Л.Эйлера. :)
Через пару дней выложу свою попытку доказательства.


Вы наверное забыли про "Выложить свою попытку"? А то решение swan я не понимаю, может у Вас получится решить попроще? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 27 авг 2016, 19:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сравнение

[math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math]

Распадается на шесть сравнений, учитывающие все натуральные [math]n>2[/math]
При [math]m\in N[/math]

[math]2^{3m}\equiv 1\pmod 7[/math]
[math]2^4\equiv 3^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m-1}\equiv 5^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+1}\equiv 11^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+2}\equiv 9^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+4}\equiv {31}^2\pmod 7[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 27 авг 2016, 19:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Сравнение

[math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math]

Распадается на шесть сравнений, учитывающие все натуральные [math]n>2[/math]
При [math]m\in N[/math]

[math]2^{3m}\equiv 1\pmod 7[/math]
[math]2^4\equiv 3^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m-1}\equiv 5^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+1}\equiv 11^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+2}\equiv 9^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+4}\equiv {31}^2\pmod 7[/math]


А как доказать-то равенство?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 27 авг 2016, 19:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
А как доказать-то равенство?

Надо поработать серым веществом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 27 авг 2016, 20:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
ivashenko писал(а):
А как доказать-то равенство?

Надо поработать серым веществом.


Что-то никак. Может Вы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 27 авг 2016, 21:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Сравнение

[math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math]

Распадается на шесть сравнений, учитывающие все натуральные [math]n>2[/math]
При [math]m\in N[/math]

[math]2^{3m}\equiv 1\pmod 7[/math]
[math]2^4\equiv 3^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m-1}\equiv 5^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+1}\equiv 11^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+2}\equiv 9^2\pmod 7[/math]
[math]2^{6m+4}\equiv {31}^2\pmod 7[/math]

Каждое сравнение, кроме второго, надо рассматривать отдельно.
Общего решения, по-моему, нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 27 авг 2016, 21:43 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не понимаю, как из этих сравнений можно получить решение, даже рассматривая их по раздельности. Ведь в равенстве справа не просто квадрат, а сумма квадрата умноженного на 7 и квадрата. Причем там значения x,y не ограничиваются 31, а могут возрастать неограниченно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №5
СообщениеДобавлено: 28 авг 2016, 09:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приведенные сравнения реализуются при любом натуральном [math]m[/math].
Если коэффициент при модуле 7 является квадратом, то это будет решением задачи для
конкретного [math]m[/math].
Если же этот коэффициент не является квадратом, то здесь придется поломать голову.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  След.  Страница 2 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теория вероятности: задача про шары и задача про точку

в форуме Теория вероятностей

AdmiralAnanas

6

484

02 окт 2021, 01:43

Задача на построение. Корректна ли задача?

в форуме Геометрия

Student Studentovich

9

663

19 июл 2020, 19:17

Задача ТВР

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

rangersdark

5

795

25 янв 2017, 05:18

Задача

в форуме Алгебра

oksi

1

532

24 ноя 2014, 21:18

Задача

в форуме Механика

ANASTASIA9999

3

609

24 ноя 2014, 18:19

Задача №15

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

8

1197

02 мар 2017, 14:45

Задача

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Sweet_blood

1

327

21 ноя 2014, 23:27

Задача по ТВ

в форуме Теория вероятностей

351w

3

734

04 фев 2019, 16:45

Задача по ТВ

в форуме Теория вероятностей

351w

1

398

03 фев 2019, 20:59

Задача

в форуме Теория вероятностей

viktorinka

3

529

03 мар 2017, 14:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved