Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 3 |
[ Сообщений: 23 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
swan писал(а): Пусть [math]x[/math] и [math]y[/math] - нечетные целые числа. [math]7x^2+y^2=N[/math] Имеем тождества [math]7(x-y)^2+(7x+y)^2=8(7x^2+y^2)[/math] [math]7(x+y)^2+(7x-y)^2=8(7x^2+y^2)[/math] Если [math]x[/math] и [math]y[/math] дают при делении на 4 одинаковый остаток, то полагаем [math]x'=\frac{x+y}2, \quad y'=\frac{|7x-y|}2[/math] Если разный, то [math]x'=\frac{|x-y|}2, \quad y'=\frac{7x+y}2[/math] Тогда [math]x', y'[/math] - нечетны и [math]7x'^2+y'^2=2N[/math] Не понимаю, как из этого следует факт существования разложения степени двойки: [math]7x^2+y^2=2^N[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
||
vorvalm писал(а): Например, при x=1 x=1 26m≡1(mod7),m∈N. 26m≡1(mod7),m∈N. Это сравнение решается и при x2=14t+1,t∈N.(169,225,...) Т.к. [math]2^3\equiv 1\pmod 7[/math], то [math]2^{3m}\equiv 1 \pmod 7[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
ivashenko |
|
|
andrei писал(а): Эта задача из записных книжек Л.Эйлера. Через пару дней выложу свою попытку доказательства. Вы наверное забыли про "Выложить свою попытку"? А то решение swan я не понимаю, может у Вас получится решить попроще? |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
||
Сравнение
[math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math] Распадается на шесть сравнений, учитывающие все натуральные [math]n>2[/math] При [math]m\in N[/math] [math]2^{3m}\equiv 1\pmod 7[/math] [math]2^4\equiv 3^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m-1}\equiv 5^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+1}\equiv 11^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+2}\equiv 9^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+4}\equiv {31}^2\pmod 7[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
ivashenko |
|
|
vorvalm писал(а): Сравнение [math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math] Распадается на шесть сравнений, учитывающие все натуральные [math]n>2[/math] При [math]m\in N[/math] [math]2^{3m}\equiv 1\pmod 7[/math] [math]2^4\equiv 3^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m-1}\equiv 5^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+1}\equiv 11^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+2}\equiv 9^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+4}\equiv {31}^2\pmod 7[/math] А как доказать-то равенство? |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
||
ivashenko писал(а): А как доказать-то равенство? Надо поработать серым веществом. |
|||
Вернуться к началу | |||
ivashenko |
|
|
vorvalm писал(а): ivashenko писал(а): А как доказать-то равенство? Надо поработать серым веществом. Что-то никак. Может Вы? |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
vorvalm писал(а): Сравнение [math]2^n\equiv x^2\pmod 7[/math] Распадается на шесть сравнений, учитывающие все натуральные [math]n>2[/math] При [math]m\in N[/math] [math]2^{3m}\equiv 1\pmod 7[/math] [math]2^4\equiv 3^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m-1}\equiv 5^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+1}\equiv 11^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+2}\equiv 9^2\pmod 7[/math] [math]2^{6m+4}\equiv {31}^2\pmod 7[/math] Каждое сравнение, кроме второго, надо рассматривать отдельно. Общего решения, по-моему, нет. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
||
Я не понимаю, как из этих сравнений можно получить решение, даже рассматривая их по раздельности. Ведь в равенстве справа не просто квадрат, а сумма квадрата умноженного на 7 и квадрата. Причем там значения x,y не ограничиваются 31, а могут возрастать неограниченно.
|
|||
Вернуться к началу | |||
vorvalm |
|
||
Приведенные сравнения реализуются при любом натуральном [math]m[/math].
Если коэффициент при модуле 7 является квадратом, то это будет решением задачи для конкретного [math]m[/math]. Если же этот коэффициент не является квадратом, то здесь придется поломать голову. |
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу Пред. 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 23 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Теория вероятности: задача про шары и задача про точку
в форуме Теория вероятностей |
6 |
484 |
02 окт 2021, 01:43 |
|
Задача на построение. Корректна ли задача?
в форуме Геометрия |
9 |
663 |
19 июл 2020, 19:17 |
|
Задача ТВР
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
5 |
795 |
25 янв 2017, 05:18 |
|
Задача
в форуме Алгебра |
1 |
532 |
24 ноя 2014, 21:18 |
|
Задача
в форуме Механика |
3 |
609 |
24 ноя 2014, 18:19 |
|
Задача №15 | 8 |
1197 |
02 мар 2017, 14:45 |
|
Задача | 1 |
327 |
21 ноя 2014, 23:27 |
|
Задача по ТВ
в форуме Теория вероятностей |
3 |
734 |
04 фев 2019, 16:45 |
|
Задача по ТВ
в форуме Теория вероятностей |
1 |
398 |
03 фев 2019, 20:59 |
|
Задача
в форуме Теория вероятностей |
3 |
529 |
03 мар 2017, 14:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |