Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 00:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 мар 2016, 00:27
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток. Некоторое время пытаюсь решить одну вроде бы простую систему нелинейных уравнений, но не выходит.
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x_2^2 + y_2^2 = R12^2 \\
& x_3^2 + y_3^2 = R13^2 \\
& x_4^2 + y_4^2 = R14^2 \\
& (x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2 = R23^2 \\
& (x_2 - x_4)^2 + (y_2 - y_4)^2 = R24^2 \\
& (x_3 - x_4)^2 + (y_3 - y_4)^2 = R34^2
\end{aligned}\right.[/math]


Эта система - нахождение координат 4х точек по известным расстояниям между ними.

Пытался решить аналитически - не вышло. Тогда попытался решать численно, методом простых итераций. Выразил из уравнений соответственно [math]x_1, x_2, x_3, y_2, y_4, y_3[/math]. Накидал программку, взял в качестве точек вершины квадрата 1х1 в начале координат. Либо спустя пару итераций получаются отрицательные значения под корнями, что меня не устраивает, либо, если поставить модули, - не сходится (а весьма быстро расходится).

Подскажите пожалуйста, эту систему вообще можно решить или я зря мучаюсь?
Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 00:56 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 мар 2012, 08:11
Сообщений: 1422
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
190 раз в 176 сообщениях
Очков репутации: 73

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если точки повернуть вокруг 1й, тоже будет решение. Пусть [math]x_2=R12, y_2=0.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 01:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 6620
Cпасибо сказано: 415
Спасибо получено:
3278 раз в 2593 сообщениях
Очков репутации: 680

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какая- то странная постановка задачи: этот четырёхугольник на плоскости может располагаться где угодно. Нужна хотя бы одна одна определённая точка. А так тот же квадрат можно на плоскости расположить где угодно и как угодно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 01:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 2306
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
293 раз в 284 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимы координаты хотя бы одной точки

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 01:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 4091
Cпасибо сказано: 321
Спасибо получено:
291 раз в 273 сообщениях
Очков репутации: 36

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде бы исходя из уравнений как угодно нельзя. И почему-то уравнения содержат в качестве неизвестных координаты только 3х точек, а речь идет о четырех точках?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 04:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дело в том, что четырехугольник - довольно сложная фигура. Все Ваши [math]R_{i,j}[/math] не могут быть произвольными. Например, для выпуклого четырехугольника

Изображение

должно быть выполнено условие:

[math]R_{12}^2+R_{23}^2+R_{34}^2+R_{14}^2=R_{13}^2+R_{24}^2+4m^2[/math]

где m - расстояние между центрами диагоналей.

Если Ваши [math]R_{i,j}[/math] удовлетворяют этому условию, то построение можно вести так (см. рис): a) - первую точку помещаем в начале координат; b) - вторая точка лежит на оси ОХ ; c) - радиусами [math]R_{13}[/math] и [math]R_{23}[/math] находим точку 3; d)f)k) - радиусы [math]R_{14}\, ,\,R_{34}\, , \,R_{24}\,[/math] дожны пересекаться в точке 4.

Если же четырехугольник вогнутый, то дело совсем гиблое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 08:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 мар 2016, 00:27
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В уравнении 3 точки, хотя в задаче 4 - потому что координаты точки [math]x_1, y_1[/math] я принял за 0. Потому что, как было сказано, четырехугольник может быть расположен как угодно. Но меня не интересует его положение, а лишь взаимное расположение точек.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 09:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4006
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
856 раз в 778 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я подытожу сказанное.
Одно из уравнений лишнее. Поэтому беря произвольные расстояния у вас и не получилось найти ответ.
Поворачивая вокруг нуля на произвольный угол, все расстояния сохраняются, поэтому решение будет с точностью до поворота, поэтому имеет смысл зафиксировать одну координату второй точки, положив ее равной нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 11:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, я так и сделал на своем рисунке, но этого оказалось все равно мало, поскольку нужно знать еще один параметр (например [math]m[/math] - расстояние между серединами диагоналей). Иначе четырехугольник просто не получится.


Последний раз редактировалось Avgust 25 мар 2016, 11:54, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Имеет ли эта система нелинейных уравнений решение?
СообщениеДобавлено: 25 мар 2016, 11:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4006
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
856 раз в 778 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, вы же расписали геометрическое решение этой системы. Зачем нам еще параметр? Не нужен он. Исходя из вашего решения также следует, что из значений [math]R14,R34,R24[/math] - одно лишнее.
Оно может и не лишнее, потому что выбросив, получим, вообще говоря, 4 решения, тогда еще одно расстояние поможет отобрать единственное. Но вот только это значение далеко не произвольное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система нелинейных уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ubuntu

4

113

09 дек 2017, 06:09

Система нелинейных уравнений (СНУ)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Rachel777

4

164

29 мар 2016, 14:49

Система нелинейных уравнений

в форуме Алгебра

ilonka

2

374

02 мар 2014, 19:00

Система нелинейных уравнений

в форуме Алгебра

Goblin-engineer

16

400

17 дек 2015, 21:25

Система нелинейных уравнений в маткаде

в форуме MathCad

Sky

2

1202

06 июн 2013, 07:31

Система нелинейных дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

masiaka16

2

216

09 дек 2015, 03:21

Система нелинейных алгебраических уравнений

в форуме MATLAB

Mekh

8

931

11 июл 2011, 22:25

Система нелинейных уравнений с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Malik037

4

1365

06 апр 2013, 23:40

Система нелинейных уравнений с четырьмя неизвестными

в форуме Алгебра

gasmator

6

528

05 июн 2012, 23:17

Система нелинейных уравнений с тремя неизвестными

в форуме Алгебра

ilona

1

452

16 сен 2013, 16:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved