Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
andrei |
|
||
|
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
||
Суровая задача для школьников
Если позволите, я буду хитрить: решу задачу матаном, но потом сведу все к формально школьному решению. Поскольку общий член ряда эквивалентен [math]\frac1{n^{\frac43}}[/math], то имеет смысл оценить его общим членом телескопического ряда вида [math]\frac1{n^{\alpha}}-\frac1{(n+1)^{\alpha}}\sim\frac{\alpha}{n^{\alpha+1}},[/math] откуда [math]\alpha=\frac13[/math]. В силу эквивалентности этих общих членов обязана существовать такая положительная, близкая к единице константа [math]C[/math], что [math]\frac1{(n+1)\sqrt[3]n}\leqslant3C\left(\frac1{\sqrt[3]n}-\frac1{\sqrt[3]{n+1}}\right)[/math] Осталось только найти эту константу. Теперь "школьное" решение [math]\frac1{(n+1)\sqrt[3]n}=\frac3{\sqrt[3]{n(n+1)}\cdot3\sqrt[3]{(n+1)^2}}\leqslant\frac3{\sqrt[3]{n(n+1)}\left(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}\right)}=\frac{3\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n\right)}{\sqrt[3]{n(n+1)}}=3\left(\frac1{\sqrt[3]n}-\frac1{\sqrt[3]{n+1}}\right)[/math] Ну а дальше понятно. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: andrei, Uncle Fedor, venjar |
|||
Avgust |
|
||
Теперь любой школьник не будет ломать голову, а сделает так:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... ..infty%29 |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: andrei |
|||
Zatamon |
|
||
На самом деле, в школе сейчас интегрирование проходят. А , это назвыается кажется интегральный признак сходимости рядов, настолько очевиден, что должен быть очевиден и школьнику (мне по кр мере был в школе очевиден) отсюда
[math]\frac {1}{(x+1)\sqrt[3]x}<\frac {1}{x\sqrt[3]x}[/math] а интеграл от этого от 1 до бесконечности легко считается на уровне школы как 3 |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Zatamon "Спасибо" сказали: andrei |
|||
ivashenko |
|
||
Что- то не то у меня выходит, наверное нужно спросить школьников.
|
|||
Вернуться к началу | |||
Zatamon |
|
||
andrei
а зря вы мне за предыдущее спасибо отметили. Забирайте обратно:-) Ляпнул я тогда с утра:-) ту сумму надо оценивать тем интегралом плюс первый член ряда, что уже получится больеш 3:-) Зы на самом деле, наверняка, можно найти первые несколько членов ряда таких, что , оценив остаточное таким интегралом, можно выйти на <3 , но мое "решение" не такое было:-) |
|||
Вернуться к началу | |||
andrei |
|
||
Ну и напоследок такое неравенство,которое тоже нужно доказать без высшей математики Доказывается гораздо проще
[math]\frac{ 1 }{ 2\sqrt{1} }+\frac{ 1 }{ 3\sqrt{2} }+...+\frac{ 1 }{ (n+1)\sqrt{n} }<2[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
andrei |
|
||
Zatamon
Я тоже с утра плохо соображаю Будем считать,что спасибо Вы получили авансом. |
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
|
andrei писал(а): Ну и напоследок такое неравенство,которое тоже нужно доказать без высшей математики Доказывается гораздо проще [math]\frac{ 1 }{ 2\sqrt{1} }+\frac{ 1 }{ 3\sqrt{2} }+...+\frac{ 1 }{ (n+1)\sqrt{n} }<2[/math] Угу, аналогичным образом получаем: [math]\frac1{(n+1)\sqrt n}\leqslant2\left(\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}}\right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Головоломка для школьников
в форуме Геометрия |
9 |
371 |
13 ноя 2020, 10:50 |
|
Олимпиада школьников 9 класс | 2 |
294 |
20 ноя 2022, 22:32 |
|
Комбинаторика школьников по номерам
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
116 |
23 окт 2022, 11:08 |
|
Об обучении школьников теории вероятностей
в форуме Размышления по поводу и без |
22 |
1919 |
12 мар 2015, 12:40 |
|
Олимпиада школьников по математике 10 класс | 4 |
430 |
23 фев 2023, 19:44 |
|
Книги по математике и логике для школьников | 3 |
497 |
17 май 2019, 21:58 |
|
Олимпиады/конкурсы для школьников с призовым фондом
в форуме Размышления по поводу и без |
6 |
302 |
04 авг 2021, 16:18 |
|
Теория вероятности: задача про шары и задача про точку
в форуме Теория вероятностей |
6 |
484 |
02 окт 2021, 01:43 |
|
Задача на построение. Корректна ли задача?
в форуме Геометрия |
9 |
663 |
19 июл 2020, 19:17 |
|
Задача
в форуме Теория вероятностей |
1 |
691 |
24 мар 2015, 18:02 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |