Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 13 дек 2015, 12:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не прибегая к высшей математике,доказать следующее неравенство
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 13 дек 2015, 23:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Суровая задача для школьников :)

Если позволите, я буду хитрить: решу задачу матаном, но потом сведу все к формально школьному решению.

Поскольку общий член ряда эквивалентен [math]\frac1{n^{\frac43}}[/math], то имеет смысл оценить его общим членом телескопического ряда вида

[math]\frac1{n^{\alpha}}-\frac1{(n+1)^{\alpha}}\sim\frac{\alpha}{n^{\alpha+1}},[/math] откуда [math]\alpha=\frac13[/math].

В силу эквивалентности этих общих членов обязана существовать такая положительная, близкая к единице константа [math]C[/math], что

[math]\frac1{(n+1)\sqrt[3]n}\leqslant3C\left(\frac1{\sqrt[3]n}-\frac1{\sqrt[3]{n+1}}\right)[/math]

Осталось только найти эту константу.

Теперь "школьное" решение :)

[math]\frac1{(n+1)\sqrt[3]n}=\frac3{\sqrt[3]{n(n+1)}\cdot3\sqrt[3]{(n+1)^2}}\leqslant\frac3{\sqrt[3]{n(n+1)}\left(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}\right)}=\frac{3\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n\right)}{\sqrt[3]{n(n+1)}}=3\left(\frac1{\sqrt[3]n}-\frac1{\sqrt[3]{n+1}}\right)[/math]

Ну а дальше понятно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
andrei, Uncle Fedor, venjar
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 02:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь любой школьник не будет ломать голову, а сделает так:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... ..infty%29
:D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
andrei
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 08:13 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 04:09
Сообщений: 245
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
41 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На самом деле, в школе сейчас интегрирование проходят. А , это назвыается кажется интегральный признак сходимости рядов, настолько очевиден, что должен быть очевиден и школьнику (мне по кр мере был в школе очевиден) отсюда
[math]\frac {1}{(x+1)\sqrt[3]x}<\frac {1}{x\sqrt[3]x}[/math] а интеграл от этого от 1 до бесконечности легко считается на уровне школы как 3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Zatamon "Спасибо" сказали:
andrei
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 08:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что- то не то у меня выходит, наверное нужно спросить школьников.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 12:06 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 04:09
Сообщений: 245
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
41 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei
а зря вы мне за предыдущее спасибо отметили. Забирайте обратно:-) Ляпнул я тогда с утра:-)
ту сумму надо оценивать тем интегралом плюс первый член ряда, что уже получится больеш 3:-)

Зы на самом деле, наверняка, можно найти первые несколько членов ряда таких, что , оценив остаточное таким интегралом, можно выйти на <3 , но мое "решение" не такое было:-)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 12:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну и напоследок такое неравенство,которое тоже нужно доказать без высшей математики :D1 Доказывается гораздо проще
[math]\frac{ 1 }{ 2\sqrt{1} }+\frac{ 1 }{ 3\sqrt{2} }+...+\frac{ 1 }{ (n+1)\sqrt{n} }<2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 12:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Zatamon
Я тоже с утра плохо соображаю :D1 Будем считать,что спасибо Вы получили авансом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача для школьников
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 18:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Ну и напоследок такое неравенство,которое тоже нужно доказать без высшей математики :D1 Доказывается гораздо проще
[math]\frac{ 1 }{ 2\sqrt{1} }+\frac{ 1 }{ 3\sqrt{2} }+...+\frac{ 1 }{ (n+1)\sqrt{n} }<2[/math]


Угу, аналогичным образом получаем:

[math]\frac1{(n+1)\sqrt n}\leqslant2\left(\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Головоломка для школьников

в форуме Геометрия

mugga

9

371

13 ноя 2020, 10:50

Олимпиада школьников 9 класс

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

anastishk

2

294

20 ноя 2022, 22:32

Комбинаторика школьников по номерам

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Harlen

1

116

23 окт 2022, 11:08

Об обучении школьников теории вероятностей

в форуме Размышления по поводу и без

gagat

22

1919

12 мар 2015, 12:40

Олимпиада школьников по математике 10 класс

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

anastishk

4

430

23 фев 2023, 19:44

Книги по математике и логике для школьников

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

Heuer

3

497

17 май 2019, 21:58

Олимпиады/конкурсы для школьников с призовым фондом

в форуме Размышления по поводу и без

Feldhamster

6

302

04 авг 2021, 16:18

Теория вероятности: задача про шары и задача про точку

в форуме Теория вероятностей

AdmiralAnanas

6

484

02 окт 2021, 01:43

Задача на построение. Корректна ли задача?

в форуме Геометрия

Student Studentovich

9

663

19 июл 2020, 19:17

Задача

в форуме Теория вероятностей

Chemist0

1

691

24 мар 2015, 18:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved